Übungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Das Wissenschaftsmagazin "I $\heartsuit$ physics " berichtet über eine herausragende Entdeckung. Zur Berechnung der Lichtwellenlänge $x$ soll folgende Formel gelten:

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

Ist diese Formel mathematisch allgemein gültig? Begründe deine Antwort rechnerisch!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Funktionen

Um die allgemeine Gültigkeit der Gleichung zu zeigen, vereinfachst du erst mal soweit wie möglich um zu sehen ob am Ende der Vereinfachungen eine allgemeingültige Formel dasteht.

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

Aus der Formel für den Tangens folgt:

$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$	$\displaystyle \cdot\cos\left(x\right)$
$\displaystyle \tan\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$\displaystyle :\tan\left(x\right)$
$\displaystyle \cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\tan(x)}$

Ersetze also $\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$ durch $\cos(x)$

Du bekommst somit den Term:

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

Wenn du die Kosinus-Funktion um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschiebst, also $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ erhält man die Funktion des Sinus also $\sin(x)$ .

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

Wenn du die Kosinus-Funktion um $\frac{3}{2}\cdot\pi$ nach links verschiebst, also $\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)$ , erhält man die negative Funktion des Sinus also $-\sin(x)$ .

$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+\frac{-\sin(x)}{\sin(x)}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+(-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die dritte binomische Formel
$\displaystyle (\sin(x))^2-(\cos(x))^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle (\sin(x))^2-(\cos(x))^2$	$=$	$\displaystyle 1$

Daraus kannst du direkt folgern,dass die Formel nicht allgemeingültig ist, denn der trigometrischen Pythagoras müsste lauten:

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

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