Aufgaben zu Bestimmung von Nullstellen

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Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle $x=2$ angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
1. $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  Setze die Funktion gleich 0.
  $0=x^2-4x+6$
  Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
  $D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=x^2-4x+6$
  Setze für x den Wert 2 ein.
  $f\left(2\right)=2^2-4\cdot2+6=4-8+6=2$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2-4x+6\\&=&x^2-4x+4-4+6\\&=&(x-2)^2+2\end{array}$
  Also handelt es sich bei $G_f$ um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel $S(2|2)$ .
  2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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2. $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Setze die Funktion gleich 0.
  Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  $0=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D<0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
  $D=1^2-4\cdot\frac12\cdot1\frac12=1-3=-2<0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12$
  Setze in x den Wert 2 ein.
  $f\left(2\right)=\frac12\cdot2^2+2+1\frac12=2+2+1\frac12=5\frac12$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f(x)=\frac12x^2+x+1\frac12=\frac12(x^2+2x)+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x^2+2x+1-1)+1\frac12=\frac12\lbrack(x+1)^2-1\rbrack+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x+1)^2+1\end{array}$
  Damit handelt es sich bei $G_f$ um eine um den Faktor $\frac12$ gestauchte Normalparabel mit Scheitel $S(-1|1)$ .
  2. Möglichkeit:
  Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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3. $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  Funktion gleich 0 setzen.
  $0=-x^2+5x-4$
  Diskriminante berechnen.
  $D=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=25-16=9>0$
  Daher gibt es zwei Nullstellen.
  $0=-x^2+5x-4$
  In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
  $x_{1{,}2}=\frac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot\left(-1\right)}$
  $x_1=\frac{-5+3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$
  $x_2=\frac{-5-3}{-2}=\frac{-8}{-2}=4$
  $\;\;\Rightarrow$ die Nullstellen sind $x_1=1$ und $x_2=4$ .
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f\left(x\right)=-x^2+5x-4$
  $x=2$ einsetzen.
  $f\left(2\right)=-2^2+5\cdot2-4=-4+10-4=2$
  Graphen zeichnen
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Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.

$h_1:\;x\mapsto x^2-64$

$h_2\colon x\mapsto x^2-2{,}25$

$h_3:\;x\mapsto x^2+1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle x^2+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle -1$
Damit gibt es keine Nullstelle.
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Bestimme die Nullstellen von der Funktion $f(x)=(x+1{,}5)^2$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x^2-64$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +64$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{64}$

$\displaystyle x^2-2{,}25$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}25$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2{,}25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2{,}25}$

$\displaystyle \left(x+1{,}5\right)^2$	$=$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle (x+1{,}5)^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$

$\displaystyle x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -1$

Aufgaben zu Bestimmung von Nullstellen

Funktionswert an der Stelle x = 2

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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Funktionswert an der Stelle x = 2

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