Aufgaben zu Bestimmung von Nullstellen

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Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle $x = 2$ angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
1. $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  Setze die Funktion gleich 0.
  $0 = x^{2} - 4 x + 6$
  Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
  $D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = - 8 < 0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$
  Setze für x den Wert 2 ein.
  $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 4 x + 6 \\ = & x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 6 \\ = & (x - 2)^{2} + 2 \end{array}$
  Also handelt es sich bei $G_{f}$ um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel $S (2 | 2)$ .
  2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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2. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Setze die Funktion gleich 0.
  Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
  $0 = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Berechne zunächst die Diskriminante $D$ ; denn falls $D < 0$ ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
  $D = 1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = 1 - 3 = - 2 < 0$
  Damit besitzt $f$ keine Nullstellen.
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2}$
  Setze in x den Wert 2 ein.
  $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + 1 \frac{1}{2} = 2 + 2 + 1 \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{2}$
  Graphen zeichnen
  Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
  1. Möglichkeit: Scheitelform
  $\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x) + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [(x + 1)^{2} - 1] + 1 \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} (x + 1)^{2} + 1 \end{array}$
  Damit handelt es sich bei $G_{f}$ um eine um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestauchte Normalparabel mit Scheitel $S (- 1 | 1)$ .
  2. Möglichkeit:
  Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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3. $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  Funktion gleich 0 setzen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  Diskriminante berechnen.
  $D = 5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 25 - 16 = 9 > 0$
  Daher gibt es zwei Nullstellen.
  $0 = - x^{2} + 5 x - 4$
  In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
  $x_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (- 1)}$
  $x_{1} = \frac{- 5 + 3}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$
  $x_{2} = \frac{- 5 - 3}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$
  $\Rightarrow$ die Nullstellen sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = 4$ .
  Funktionswert an der Stelle x = 2
  $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$
  $x = 2$ einsetzen.
  $f (2) = - 2^{2} + 5 \cdot 2 - 4 = - 4 + 10 - 4 = 2$
  Graphen zeichnen
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2
Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.
1. $h_{1} : x \mapsto x^{2} - 64$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} - 64$ $=$ $0$ $+ 64$
  $x^{2}$ $=$ $64$ $\sqrt{}$
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{64}$
  $\Rightarrow x_{1} = + 8; x_{2} = - 8$
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2. $h_{2} : x \mapsto x^{2} - 2,25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} - 2,25$ $=$ $0$ $+ 2,25$
  $x^{2}$ $=$ $2,25$ $\sqrt{}$
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{2,25}$
  $\Rightarrow x_{1} = + 1,5; x_{2} = - 1,5$
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3. $h_{3} : x \mapsto x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Setze die Funktion gleich $0$ .
  $x^{2} + 1$ $=$ $0$ $- 1$
  $x^{2}$ $=$ $- 1$
  Damit gibt es keine Nullstelle.
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3
Bestimme die Nullstellen von der Funktion $f (x) = (x + 1,5)^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
${(x + 1,5)}^{2}$ $=$
↓
Setze die Funktion gleich 0.
$(x + 1,5)^{2}$ $=$ $0$ $\sqrt{}$
$x + 1,5$ $=$ $0$ $- 1,5$
$x$ $=$ $- 1,5$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x^{2} - 64$	$=$	$0$	$+ 64$
$x^{2}$	$=$	$64$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{64}$

$x^{2} - 2,25$	$=$	$0$	$+ 2,25$
$x^{2}$	$=$	$2,25$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2,25}$

${(x + 1,5)}^{2}$	$=$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$(x + 1,5)^{2}$	$=$	$0$	$\sqrt{}$
$x + 1,5$	$=$	$0$	$- 1,5$
$x$	$=$	$- 1,5$

Aufgaben zu Bestimmung von Nullstellen

Funktionswert an der Stelle x = 2

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