Wenn man das Volumen eines Körpers berechnen will, kann man ihn oft in schon bekannte Körper aufteilen und damit das Volumen leichter errechnen.
Zerlegung in Quader
Grundwissen: Das Volumen eines Quaders
Das Volumen eines Quaders berechnet man, indem man die Grundfläche mit der Höhe multipliziert.
%%V_{\text{Quader}} = G \cdot h = a\cdot b\cdot h%%
Volumenberechnung durch Zerlegen in Einzelteile
Schwierigere Körper lassen sich manchmal in mehrere Quader unterteilen. Mit diesem Trick kann man dann auch ihr Volumen einfach berechnen.
Beispiel
Der Körper lässt sich zum Beispiel entlang den rot gepunkteten Linien in zwei Quader aufteilen. Du rechnest beide einzeln aus und addierst sie dann.
$$V = V_{\text{Quader unten}} + V_{\text{Quader oben}} \\ \hphantom{V} = (6\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,5\ \mathrm{cm}) + (2\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm}) \\ \hphantom{V} = 18\ \mathrm{cm^3} + 8\ \mathrm{cm^3} = 26\ \mathrm{cm^3}$$
Volumenberechnung durch Abziehen bestimmter Teile
Manchmal kann man das Volumen auch geschickter berechnen, indem man von einem größeren Körper Teile abzieht.
Beispiel
Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, kann man zum Beispiel zuerst den kompletten Quader mit Länge %%5 \mathrm{cm}%%, Breite %%2 \mathrm{cm}%% und Höhe %%7 \mathrm{cm}%% berechnen. Davon zieht man dann die Lücken noch ab.
%%V_\text{Quader groß} = 5\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 7\ \mathrm{cm} = 70\ \mathrm{cm}^3%%
%%V_\text{Lücke} = 3\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,4\ \mathrm{cm} = 8,4\ \mathrm{cm}^3%%
%%V_\text{Körper} = V_\text{Quader groß} - V_\text{Lücke} - V_\text{Lücke} = 70\ \mathrm{cm}^3 - 8,4\ \mathrm{cm}^3 - 8,4\ \mathrm{cm}^3 = 53,2\ \mathrm{cm}^3%%
Zerlegung in Prismen und Zylinder
Grundwissen
$$V_\text{Prisma} = \mathrm{G_P} \cdot \mathrm{h_p}$$
$$V_\text{Zylinder} = \mathrm{G_Z} \cdot \mathrm{h_Z} = r^2 \pi \cdot \mathrm{h_Z}$$
Wie man die Grundfläche berechnet, hängt von der Form der Grundfläche ab.
Für viele dieser ebenen Figuren gibt es Formeln zur Berechnung.
Volumenberechnung durch Zerlegen in Prismen und Zylinder
Mit Prismen und Zylindern kann man von vielen weiteren Körpern das Volumen berechnen.
Beispiel
Um das Volumen dieser Spielzeuglokomotive näherungsweise auszurechnen, überlegt man sich zuerst, aus welchen Körpern sie ungefähr zusammengesetzt ist.
Ein mögliches Modell könnte so aussehen:
Man berechnet also die Volumen des Quaders, und der Zylinder
%%V_{Führerstand} = 2\ \mathrm{cm}\cdot 1 \ \mathrm{cm} \cdot 3 \ \mathrm{cm} = 6 \ \mathrm{cm^3}%%
%%V_{Radzylinder} = (0.75\ \mathrm{cm})^2 \pi \cdot 2\ \mathrm{cm} = 1.125 \ \mathrm{cm^3} \cdot \pi \approx 3.53 \ \mathrm{cm^3}%%
%%V_{Rumpf} = (1\ \mathrm{cm})^2 \pi \cdot 4\ \mathrm{cm} = 4 \ \mathrm{cm^3}\cdot \pi \approx 12.57 \ \mathrm{cm^3}%%
Insgesamt erhält man dann das Volumen der Lokomotive, indem man die einzelnen Teile zusammenaddiert.
%%V_{Lokomotive} = V_{Führerstand} + 2 \cdot V_{Radzylinder} + V_{Rumpf} \approx 6 \ \mathrm{cm^3} + 2\cdot 3.53 \ \mathrm{cm^3} + 12.57 \ \mathrm{cm^3} = 25.63 \ \mathrm{cm^3}%%
vielen Dank für dein Feedback! Ich habe manches davon eingearbeitet.
Die Begriffe Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit passen hier meiner Meinung nach nicht so gut rein, die werden doch eher beim Vergleich von zwei Körpern verwendet, oder nicht?
Das Bild vom Zylinder habe ich hinzugefügt, danke für den Hinweis! Mit dem Beispiel hast du Recht, ist mir im Nachhinein auch aufgefallen, aber hatte bisher noch nicht die Zeit das noch einzubauen. Ich setz mich demnächst nochmal dran :)
Falls du noch weiteres Feedback hast, würde ich mich freuen!
Viele Grüße
Benni
cool, danke fürs Übernehmen!
Mit den Begriffen hast du natürlich recht. Da ist bei mir was durcheinander gekommen.
Als Entschuldigung habe ich mal den related content aktualisiert ;) :)
LG
Hannes
Gruß
Benni