Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Achtung Blender unterwegs!

Zwei PKWs B und C fahren einander nachts mit Fernlicht auf einer Landstraße entgegen, deren Verlauf durch die Funktion

\displaystyle p:\;p(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac74

gegeben ist.

Von wo aus blenden die Scheinwerfer der Fahrzeuge einen Beobachter, der sich am Punkt A(-2|2) befindet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentensteigung

Die Lösungsidee:

Ein Fahrzeug blendet den Beobachter, wenn seine Scheinwerfer "direkt" auf ihn gerichtet sind. Das ist der Fall, wenn es sich an einem Parabelpunkt $(x_0\vert y_0)$ befindet, dessen Tangente durch den Punkt A(-2|2) verläuft.

Erstelle die Tangente t im Punkt $(x_0\vert y_0)$ an p.

$t:\;y\;=\;(x-x_0)\cdot p'(x_0)+y_0$

Berechne p'(x).

$p'(x)=-\frac12x+\frac12$

Setze $p'(x_0)$ in t ein.

$t:\;y\;=\;(x-x_0)(-\frac12x_0+\frac12)+y_0$

Setze den Funktionswert $y_0$ ein.

$t:\;y\;=\;(x-x_0)(-\frac12x_0+\frac12)+(-\frac14x_0^2+\frac12x_0+\frac74)$

$t:\;y\;=\;-\frac12x_0x+\frac12x+\frac12x_0^2-\frac12x_0-\frac14x_0^2+\frac12x_0+\frac74$

Fasse zusammen und unterscheide dabei die Variable x und den festen Wert

$t:\;y\;=\;(\frac12-\frac12x_0)x+(\frac14x_0^2+\frac74)$

Setze die Koordinaten (-2|2) von A ein, damit t durch A verläuft.

$2=\frac12(1-x_0)\cdot(-2)+(\frac14x_0^2+\frac74)$

Bringe die quadratische Gleichung für $x_0$ in die übliche Normalform.

$\frac14x_0^2+x_0-\frac54=0$

Multipliziere auf beiden Seiten mit 4.

$x_0^2+4x_0-5=0$

Löse die Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.

\displaystyle p:\;p(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac74

$x_0'=-5\;\text{und}\;x_0^{''}=1$

Setze beide Werte jeweils in $p(x)$ ein.

\displaystyle p:\;p(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac74

\displaystyle p:\;p(x)=-\frac14x^2+\frac12x+\frac74

Ergebnis: Der linke PKW blendet den Beobachter vom Punkt (-5|-7) aus, der rechte PKW vom Punkt (1|2) aus.

Bestätige das Rechenergebnis graphisch am folgenden Geogebra-Applet, indem du die Gleiterpunkte B und C verschiebst!

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