Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

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Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1} = \frac{13}{x - 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0; - 1; 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ erweitern.
$\frac{30 (x + 1) (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)} - \frac{16 x (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)}$	$=$	$\frac{13 x (x + 1)}{x (x + 1) (x - 2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ multiplizieren.
$30 (x + 1) (x - 2) - 16 x (x - 2)$	$=$	$13 x (x + 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 (x^{2} - 2 x + x - 2) - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 x^{2} - 60 x + 30 x - 60 - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Terme zusammenfassen
$14 x^{2} + 2 x - 60$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$	$- 13^{2} - 13 x$
$x^{2} - 11 x - 60$	$=$	$0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$121 + 240 = 361$
	↓	$361 > 0 = >$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 + \sqrt{361}}{2} = 15$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 - \sqrt{361}}{2} = - 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${- 4; 15}$

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$\frac{4}{x} - \frac{x}{4} = \frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsmenge bestimmen

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4}$	$=$	$\frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4 x$ erweitern
$\frac{4 \cdot 4}{4 x} - \frac{x \cdot x}{4 x}$	$=$	$\frac{8 \cdot 4}{4 x} - \frac{3 x^{2}}{4 x}$	$\cdot 4 x$
$16 - x^{2}$	$=$	$32 - 3 x^{2}$	$- 32 + 3 x^{2}$
$2 x^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
$2 x^{2}$	$=$	$16$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$8$	$\| \sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{8} \approx 2,8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{8} \approx - 2,8$
$\Rightarrow L$	$=$	${- \sqrt{8}; \sqrt{8}}$

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$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 1; 1}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x - 1) (x + 1)$ erweitern.
$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$	$\cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$x^{2}$
	↓	Gleichung umformen.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$16$
	↓	$16 > 0 = >$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 4 + 4}{- 2} = 0$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 4 - 4}{- 2} = 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${0; 4}$

Alternativ kann die Gleichung $- x^{2} + 4 x = 0 \Rightarrow x (- x + 4) = 0$ auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

$x = 0 oder x = 4 \Rightarrow L = {0; 4}$

Videolösung

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von YouTube geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://youtu.be/dUsXwi-PIR4]

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$\frac{x}{x^{2} - 4 x} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$x^{2} - 4 x$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$x (x - 4)$	$=$	$0$
$\Rightarrow D$	$=$	$ℝ \ {0; 4}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\frac{x}{x \cdot (x - 4)}$	$=$	$2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\frac{1}{x - 4}$	$=$	$2$	$\cdot (x - 4)$
$1$	$=$	$2 \cdot (x - 4)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$1$	$=$	$2 x - 8$	$+ 8$
$9$	$=$	$2 x$	$: 2$
$\frac{9}{2}$	$=$	$x$
$\Rightarrow L$	$=$	${\frac{9}{2}}$

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$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$	$=$	$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$(x - 2) \cdot (x + 2)$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = 2 o d e r x = - 2$
	↓	Der Nenner rechts
${(x + 2)}^{2}$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = - 2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+ 2$ und $- 2$ .
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\frac{1}{x + 2}$	$=$	$\frac{1}{x + 2}$	$\cdot (x + 2)$
$1$	$=$	$1$
$\Rightarrow L = D$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

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