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20Parameterform umwandeln (2/2)

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Koordinatenform umwandeln.

Parameterform: E:x=(a1a2a3)+λ(u1u2u2)+γ(v1v2v3)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}

Koordinatenform: E:n1x1+n2x2+n3x3+n0=0E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0

Da die Koeffizienten n1,n2,n3n_1, n_2, n_3 vor den jeweiligen x-Werten die Einträge des Normalenvektors sind, berechnet man zuerst den Normalenvektor n\vec{n}. Diesen bekommt man durch das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren u\vec{u} und v\vec{v}:

n=u×v=(u1u2u3)×(v1v2v3)\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}

Jetzt fehlt nur noch n0n_0. Dafür setzt man den berechneten Normalenvektor n\vec{n} und den Aufpunkt(a1a2a3)\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} in die Standard-Koordinatenform ein und löst diese Gleichung nach n0n_0 auf. Tut man das erhält man:

Alle nötigen Werte sind jetzt bekannt und man kann die Ebene in Koordinatenform angeben.

Beispiel

Gegeben ist E:x=(211)+λ(117)+γ(316) E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}

Zuerst bestimmt man den Normalenvektor n\vec{n} mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene: n=(117)×(316)=((1)671731611(1)3)=(13154)\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 6 - 7 \cdot 1 \\ 7 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix}

Anschließend berechnet man n0n_0, indem man den Aufpunkt (211)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und den Normalenvektor (13154)\begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4\end{pmatrix} in die KoordinatenformE:n1x1+n2x2+n3x3+n0=0E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0 einsetzt und nach n0n_0 auflöst:

Somit erhält man folgende Ebene in Koordinatenform:


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