20Parameterform umwandeln (2/2)

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Koordinatenform umwandeln.

Parameterform: $E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_2\end{array}\right)+\gamma \cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)E:\; \backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; a\_1\; \backslash \backslash \; a\_2\; \backslash \backslash \; a\_3\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; u\_1\; \backslash \backslash \; u\_2\; \backslash \backslash \; u\_2\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash gamma\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\; \backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Koordinatenform: $E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0E:\; n\_1x\_1\; +\; n\_2x\_2\; +\; n\_3x\_3\; +\; n\_0\; =\; 0$

Da die Koeffizienten $n_1,n_2,n_{3}n\_1,\; n\_2,\; n\_3$ vor den jeweiligen x-Werten die Einträge des Normalenvektors sind, berechnet man zuerst den Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$. Diesen bekommt man durch das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ und $\vec{v}\backslash vec\{v\}$:

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)\backslash vec\{n\}\; =\; \backslash vec\{u\}\; \backslash times\; \backslash vec\{v\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; u\_1\; \backslash \backslash \; u\_2\; \backslash \backslash \; u\_3\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash times\; \backslash begin\{pmatrix\}\; v\_1\; \backslash \backslash \; v\_2\; \backslash \backslash \; v\_3\; \backslash end\{pmatrix\}$

Jetzt fehlt nur noch $n_{0}n\_0$. Dafür setzt man den berechneten Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ und den Aufpunkt$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; a\_1\; \backslash \backslash \; a\_2\; \backslash \backslash \; a\_3\; \backslash end\{pmatrix\}$ in die Standard-Koordinatenform ein und löst diese Gleichung nach $n_{0}n\_0$ auf. Tut man das erhält man:

Alle nötigen Werte sind jetzt bekannt und man kann die Ebene in Koordinatenform angeben.

Beispiel

Gegeben ist $E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 7\end{array}\right)+\gamma \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 6\end{array}\right)E:\; \backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 7\; \backslash end\{pmatrix\}\; +\; \backslash gamma\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 6\; \backslash end\{pmatrix\}$

Zuerst bestimmt man den Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene: $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 7\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-1)\cdot 6-7\cdot 1\\ 7\cdot 3-1\cdot 6\\ 1\cdot 1-(-1)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-13\\ 15\\ 4\end{array}\right)\backslash vec\{n\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 7\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash times\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 6\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; (-1)\; \backslash cdot\; 6\; -\; 7\; \backslash cdot\; 1\; \backslash \backslash \; 7\; \backslash cdot\; 3\; -\; 1\; \backslash cdot\; 6\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash cdot\; 1\; -\; (-1)\; \backslash cdot\; 3\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -13\; \backslash \backslash \; 15\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{pmatrix\}$

Anschließend berechnet man $n_{0}n\_0$, indem man den Aufpunkt $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$ und den Normalenvektor $\left(\begin{array}{c}-13\\ 15\\ 4\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; -13\; \backslash \backslash \; 15\; \backslash \backslash \; 4\backslash end\{pmatrix\}$ in die Koordinatenform$E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0E:\; n\_1x\_1\; +\; n\_2x\_2\; +\; n\_3x\_3\; +\; n\_0\; =\; 0$ einsetzt und nach $n_{0}n\_0$ auflöst:

Somit erhält man folgende Ebene in Koordinatenform: