20Parameterform umwandeln (2/2)

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Koordinatenform umwandeln.

Parameterform: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Koordinatenform: $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0$

Da die Koeffizienten $n_1, n_2, n_3$ vor den jeweiligen x-Werten die Einträge des Normalenvektors sind, berechnet man zuerst den Normalenvektor $\vec{n}$. Diesen bekommt man durch das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Jetzt fehlt nur noch $n_0$. Dafür setzt man den berechneten Normalenvektor $\vec{n}$ und den Aufpunkt$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ in die Standard-Koordinatenform ein und löst diese Gleichung nach $n_0$ auf. Tut man das erhält man:

Alle nötigen Werte sind jetzt bekannt und man kann die Ebene in Koordinatenform angeben.

Beispiel

Gegeben ist $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

Zuerst bestimmt man den Normalenvektor $\vec{n}$ mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 6 - 7 \cdot 1 \\ 7 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix}$

Anschließend berechnet man $n_0$, indem man den Aufpunkt $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und den Normalenvektor $\begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4\end{pmatrix}$ in die Koordinatenform$E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0$ einsetzt und nach $n_0$ auflöst:

Somit erhält man folgende Ebene in Koordinatenform: