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Parameterform in Normalenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Normalenform umwandeln.

Parameterform: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Normalenform: $\vec{n} \circ \begin{pmatrix} \vec{x}-\vec{A} \end{pmatrix} = 0$

Zuerst berechnet man den Normalenvektor $\vec{n}$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren unserer Ebene, da das Kreuzprodukt einen Vektor erzeugt, der rechtwinklig auf beiden Richtungsvektoren steht.

Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, da diese nur die Orientierung des Normalenvektors umdreht.

Anschließend übernimmt man den Aufpunkt der Parameterform und setzt diesen für $\vec{A}$ in die Normalenform ein und man ist fertig.

Beispiel:

Gegeben ist $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

Zuerst bestimmen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene:

Anschließend setzt man den Aufpunkt und den Normalenvektor in die Standard-Normalenform ein: