Parameterform umwandeln (1/2) – Abiturkurs Geometrie

Parameterform in Normalenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Normalenform umwandeln.

Parameterform: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Normalenform: $\vec{n} \circ \begin{pmatrix} \vec{x}-\vec{A} \end{pmatrix} = 0$

Zuerst berechnet man den Normalenvektor $\vec{n}$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren unserer Ebene, da das Kreuzprodukt einen Vektor erzeugt, der rechtwinklig auf beiden Richtungsvektoren steht.

\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}

Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, da diese nur die Orientierung des Normalenvektors umdreht.

Anschließend übernimmt man den Aufpunkt der Parameterform und setzt diesen für $\vec{A}$ in die Normalenform ein und man ist fertig.

\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = 0

Beispiel:

Gegeben ist $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

Zuerst bestimmen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene:

\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 6 - 7 \cdot 1 \\ 7 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix}

Anschließend setzt man den Aufpunkt und den Normalenvektor in die Standard-Normalenform ein:

\displaystyle \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = 0

19Parameterform umwandeln (1/2)

Parameterform in Normalenform umwandeln

Beispiel: