Aufgaben mit drei Unbekannten

Wähle die Variable $ww$ und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $ww$:

Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes $ww$ den Koeffizienten 5 hat.

Dann addierst du ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\}\text{'}$ zu $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ und ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\}\text{'}$ zu ${\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{III\}\text{'}$.

Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{III\text{'}\text{'}\}$ besteht.

Dazu wählst du die Variable $vv$ und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:

Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:

Subtrahiere $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\text{'}\}$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}\backslash mathrm\{III^\{(4)\}\}$, um $vv$ zu eliminieren.

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(5)}\backslash mathrm\{III^\{(5)\}\}$ nach $uu$ auf und setzt seinen Wert in ${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}\text{'}$ ein.

Nun setzt du die beiden Werte in ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ ein und löst nach $ww$ auf.

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $yy$ (alternativ: von $xx$ oder $zz$).

Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von $yy$ 30 sind.

Addiere ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ und subtrahiere ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{III\text{'}\}$, um die Terme mit $yy$ zu eliminieren.

Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{III\text{'}\text{'}\}$ besteht.

Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von $zz$ und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem $zz$ das kgV steht.

Dann addierst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{III\text{'}\text{'}\text{'}\}$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\text{'}\}$, um den Term mit $zz$ zu eliminieren.

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}\backslash mathrm\{III^\{(4)\}\}$ nach $xx$ auf und setzt den Wert in $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\text{'}\text{'}\}$ ein.

$\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}x=2\backslash mathrm\{III^\{(4)\}\}\backslash quad\; x=2$

Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben: