Aufgaben mit drei Unbekannten

Wähle die Variable $w$ und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $w$:

Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes $w$ den Koeffizienten 5 hat.

Dann addierst du $\mathrm{I}'$ zu $\mathrm{II}$ und $\mathrm{I}'$ zu $\mathrm{III}'$.

Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III''}$ besteht.

Dazu wählst du die Variable $v$ und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:

Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:

Subtrahiere $\mathrm{II''}$ von $\mathrm{III^{(4)}}$, um $v$ zu eliminieren.

Nun löst du $\mathrm{III^{(5)}}$ nach $u$ auf und setzt seinen Wert in $\mathrm{II}''$ ein.

Nun setzt du die beiden Werte in $\mathrm{I'}$ ein und löst nach $w$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}$

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $y$ (alternativ: von $x$ oder $z$).

Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von $y$ 30 sind.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}$

Addiere $\mathrm{I'}$ und $\mathrm{II}$ und subtrahiere $\mathrm{I'}$ von $\mathrm{III'}$, um die Terme mit $y$ zu eliminieren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\\mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}$

Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III''}$ besteht.

Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von $z$ und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem $z$ das kgV steht.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccr}\mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60\end{array}$

Dann addierst du $\mathrm{III'''}$ und $\mathrm{II''}$, um den Term mit $z$ zu eliminieren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccr}\mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\\mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16\end{array}$

Nun löst du $\mathrm{III^{(4)}}$ nach $x$ auf und setzt den Wert in $\mathrm{II''}$ ein.

$\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrl}x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\&352-132z&=&-44&|-352\\&-132z&=&-396&|:(-132)\\&z&=&3\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrl}\mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\&-33+30y&=&-3&|+33\\&30y&=&30&|:30\\&y&=&1\end{array}$

Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben: