Aufgaben zur Cramerschen Regel

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

$(\mathrm{A}|\mathrm{b})=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& -5\\ 3& 3& 2\\ -4& -5& 6\end{array}|\begin{array}{c}11\\ 17\\ -17\end{array}\right)$

Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{x}}=\left|\begin{array}{ccc}11& 4& -5\\ 17& 3& 2\\ -17& -5& 6\end{array}\right|=-66$

Mache dies auch für ${\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}$ und ${\mathrm{A}}_{\mathrm{z}}$, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{y}}=\left|\begin{array}{ccc}2& 11& -5\\ 3& 17& 2\\ -4& -17& 6\end{array}\right|=-99$

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{z}}=\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 11\\ 3& 3& 17\\ -4& -5& -17\end{array}\right|=-33$

Berechne nun noch die Determinante von $A$.

$\mathrm{detA}=\left|\begin{array}{ccc}2& 4& -5\\ 3& 3& 2\\ -4& -5& 6\end{array}\right|=-33$

Teile nun die Determinante von ${\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}$, ${\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}$ bzw. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{z}}$ durch die Determinante von $A$. Erhalte so $x$,$y$ bzw. $z$.

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

$(\mathrm{A}|\mathrm{b})=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 3& -2& 1\\ 4& -2& 1\end{array}|\begin{array}{c}2\\ -2\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$

Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{x}}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& -2& 1\\ -\mathrm{1,5}& -2& 1\end{array}\right|=\mathrm{1,5}$

Mache dies auch für ${\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}$ und ${\mathrm{A}}_{\mathrm{z}}$, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{y}}=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 3& -2& 1\\ 4& -\mathrm{1,5}& 1\end{array}\right|=\mathrm{4,5}$

${\mathrm{detA}}_{\mathrm{z}}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 3& -2& -2\\ 4& -2& -\mathrm{1,5}\end{array}\right|=-\mathrm{1,5}$

Nun berechne noch die Determinante von $A$.

$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 3& -2& 1\\ 4& -2& 1\end{array}\right|=3$

Teile nun die Determinante von ${\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}$, ${\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}$ bzw. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{z}}$ durch die Determinante von $A$, um $x$, $y$ und $z$ zu erhalten.