Aufgaben zur Kurvendiskussion - lernen mit Serlo!

Es ist folgende Funktion gegeben:

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}

In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}

Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$
	↓	Berechne die Nullstellen des Nenners.
$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken der Funktion.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$
	↓	Berechne die Nullstelle des Zählers.
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 0_{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$
	↓	Für die Tangente benötigt man eine Steigung. Dafür berechnet man die Ableitung.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot(x^2-4)-2x(x+1)}{(x^2-4)^2}$
	↓	Für die Tangente an der Stelle $x=0$ benötigt man die Ableitung an der Stelle. Setze 0 in die Ableitung ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}$
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-0^2-2\cdot0-4}{(0^2-4)^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4}{16}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}$
	↓	Nachdem man die Steigung weiß, benötigt man noch die vollständigen Koordinaten des Punktes. Dafür setzt man den x-Wert in die Funktion ein.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$
	↓	Für die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung gesucht. Setze die Ableitung $0$ .
$\displaystyle f´\left(x\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle \frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}$
	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -x^2-2x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2+2x+4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2}$
	↓	Die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es im Reellen nicht, also gibt es keine Lösung für $x$ . Die Funktion hat keine Extremstellen.

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