Denk- und Beweisaufgaben zum Parallelogramm

Verwandlungskünste

Je weniger Eckpunkte eine geometrische Figur bei gleichbleibender Fläche hat, desto wünschenswerter ist dies oft.

Verwandle durch eine Konstruktion Parallelogramme so, dass jeweils ein flächengleiches Dreieck entsteht.

Verwandle das Parallelogramm $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(0|0),\,B(4|0),\,C(7|2),\,D(3|2)$ unter Beibehaltung der Seite $[AB]$ und des Innenwinkels $\alpha$ in ein flächengleiches Dreieck.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
$\quad \quad \quad$
Die Konstruktion:
Lege durch den Eckpunkt $C$ die Parallele zur Diagonalen $BD$ . Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite $[AD]$ im Punkt $E$ .
$E$ hat im Koordinatensystem die Koordinaten $(6|4)$ .
Das Dreieck $\text{ABE}$ ist flächengleich zum Parallelogramm $\text{ABCD}$ .
Begründung:
Die beiden Dreiecke $\text{BCD}$ und $\text{BDE}$ haben die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.
Die Konstruktion kannst du mit folgendem Applet nachvollziehen.
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Verwandle das Parallelogramm $\text{ABCD}$ mit den Eckpunkten $A(0|0),\,B(4|0),\,C(3|2),\,D(-1|2)$ unter Beibehaltung der Parallelogrammseite $\,[BC]$ und des Innenwinkels $\beta$ in ein flächengleiches Dreieck.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
$\quad \quad$
Die Konstruktion:
Lege die Parallele zur Parallelogramm-Diagonalen $[AC]$ durch den Eckpunkt $\text{D}$ . Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite $[AB]$ im Punkt $\text{F}$ .
$\text{F}$ hat im Koordinatensystem die Koordinaten $(-4|0)$ .
Begründung der Konstruktion:
Die beiden Dreiecke $\text{ACD}$ und $\text{ACF}$ haben die gleiche Grundlinie $[AC]$ und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.
Du kannst die Konstruktion mit einem Applet nachvollziehen.
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