Aufgaben zu Drachenviereck und Raute

Hier findest du Rechenaufgaben zum Drachenviereck und der Raute. Lerne, wichtige Größen zu berechnen und vertiefe dein Wissen!

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Zeichne zuerst die Punkte $A (5\vert8)$ , $C (5\vert1)$ und die Gerade $b: x = 7$ in ein Koordinatensystem.
1. Die Punkte $B_1=(7|2)$ und $B_2 = (7|5)$ liegen auf der Geraden $b$ . Ergänze die Dreiecke $AB_1C$ und $AB_2C$ jeweils zu einem Drachenviereck $AB_1CD_1$ bzw. $AB_2CD_2$ .
2. Für jeden Punkt $B_n$ auf der Geraden $b$ kann man das Dreieck $AB_nC$ zu einem Drachenviereck $AB_nCD_n$ ergänzen. Alle Punkte $D_n$ liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $[AC]$ ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade $d$ gleich weit von $[AC]$ entfernt sein muss, wie die Gerade $b$ , damit ein Drachenviereck zustande kommt. $A$ und $C$ liegen beide bei $x=5$ und $b$ bei $x=7$ . Du spiegelst die Gerade $b$ an der Gerade $\overline{AC}$ und erhältst so die Gerade $d$ .
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3. Nenne zwei Beispiele für die Punkte $B$ und $D$ , die auf den jeweiligen Geraden $b$ und $d$ liegen, dass das Drachenviereck $ABCD$ entsteht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Die Punkte $B$ und $D$ müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie $A$ und niedriger oder auf gleicher höhe wie $C$ sein.
  Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade $b$ oder $d$ platzieren. Hier ein paar Beispiele.
  $D (3\vert7)$ ; $B (7\vert7)$
  $D (3\vert6)$ ; $B (7\vert6)$
  $D (3\vert5)$ ; $B (7\vert5)$
  $D (3\vert4)$ ; $B (7\vert4)$
  $D (3\vert3)$ ; $B (7\vert3)$
  $D (3\vert2)$ ; $B (7\vert2)$
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4. Wann ist das Drachenviereck $ABCD$ eine Raute? Versuche $B$ und $D$ jetzt so zu verschieben, dass sie mit $A$ oder mit $D$ ein Dreieck bilden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Raute
  Das Viereck $ABCD$ ist eine Raute, wenn $[BD]$ auch eine Symmetrieachse von $ABCD$ ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte $B$ , $D$ an der Halbierenden der Strecke $[AC]$ liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
  Dreieck
  Ein Dreieck wird es dann, wenn $A$ oder $C$ auf der Strecke $[BD]$ liegt. Das passiert, wenn $B$ und $D$ auf gleicher Höhe sind wie $A$ oder $C$ .
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5. Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
  
  Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
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2
Welche der folgenden Vierecke sind Rauten?
3
Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?
$A=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f$
$A=2\cdot (a + b)$
$A=e \cdot f$
$A=a \cdot b$

Berechne den Umfang der Raute im Bild auf eine Nachkommastelle genau, wobei $\text{e}=12\,\text{cm}$ und $\text{f}=8\,\text{cm}$ lang sind.

5
Von einer Raute kennst du die Fläche $A = 16\,\text{cm}^2$ und die Länge der Diagonalen $f = 4\,\text{cm}$ . Wie lang ist die Diagonale $e$ ?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
$A = \dfrac{1}{2}\cdot e \cdot f$
Das ist die Flächenformel einer Raute.
Um $e$ zu berechnen, musst du die Formel umstellen.
$\Rightarrow 2\cdot A = e \cdot f$
$\Rightarrow \dfrac{2\cdot A}{f} = e$
Jetzt kannst du $A = 16 \,\text{cm}^2$ und $f = 4\,\text{cm}$ einsetzen.
$e\ =\ \dfrac{2\cdot A}{f}\ =\ \dfrac{2\cdot 16\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}}\ =\ \dfrac{32}{4}\cdot \dfrac{\text{cm}^2}{\text{cm}}\ =\ 8\,\text{cm}$
Antwort: Die Diagonale $e$ hat also die Länge $8\,\text{cm}$ .
6
Berechne die fehlende Größe des Drachenvierecks.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & ? \end{array}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = 4 $\mathrm{cm}$ f = 8 $\mathrm{cm}$ A = ?
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 4 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ 8 $\mathrm{cm}$
  A = 16 $\mathrm{cm^2}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline2{,}5 \mathrm{cm}& 3{,}4\mathrm{cm} & ? \end{array}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ e ⋅ f
  Gegebene Informationen: e = 2,5 $\mathrm{cm}$ f = 3,4 $\mathrm{cm}$ A = ?
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2,5 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ 3,4 $\mathrm{cm}$
  A = 4,25 $\mathrm{cm^²}$
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3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline2 \mathrm{dm}& 1{,}4\mathrm{dm} & ? \end{array}$
  dm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = 2 $\mathrm{cm}$ f = 1,4 $\mathrm{cm}$ A = ?
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2 $\mathrm{dm}$ $\cdot$ 1,4 $\mathrm{dm}$
  A = 1,4 $\mathrm{dm^²}$
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4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline0{,}5 \mathrm{cm}& 14\mathrm{mm} & ? \end{array}$
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = 0,5 $\mathrm{cm}$ f = 1,4 $\mathrm{cm}$ A = ?
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 0,5 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ 1,4 $\mathrm{cm}$
  A = 0,35 $\mathrm{cm^²}$
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5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline3 \mathrm{cm}& ? & 12\mathrm{cm} \end{array}$
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = 1,5 $\mathrm{cm}$ f = ? A = 12 $cm$
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  12 $\mathrm{cm^²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 3 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ f
  12 $\mathrm{cm^²}$ = 1,5 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ f |: 1,5 $\mathrm{cm}$
  8 $\mathrm{cm}$ = f
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6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline4{,}2 \mathrm{cm}& ? & 9{,}45\mathrm{cm} \end{array}$
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = 4,2 $\mathrm{cm}$ f = ? A = 9,45 $cm$
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  9,45 $\mathrm{cm^²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 4,2 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ f
  9,45 $\mathrm{cm^²}$ = 2,1 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ f | : 2,1 $\mathrm{cm}$
  4,5 $\mathrm{cm}$ = f
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7. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline?& 8 \mathrm{cm} & 24\mathrm{cm} \end{array}$
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = ? f = 8 $\mathrm{cm}$ A = 24 $cm$
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  24 $\mathrm{cm^²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 8 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ e
  24 $\mathrm{cm^²}$ = 4 $\mathrm{cm}$ $\cdot$ e | : 4 $\mathrm{cm}$
  6 $\mathrm{cm}$ = e
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8. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline? & 7{,}5 \mathrm{cm}& 3\mathrm{dm} \end{array}$
  dm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
  Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
  Gegebene Informationen: e = ? f = 7,5 $\mathrm{cm}$ A = 3 $dm$
  Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
  $3\mathrm{dm^2}$ = $\frac{1}{2}\cdot0{,}75\mathrm{dm}\cdot e$
  $3\mathrm{dm^2}$ = $0{,}375\mathrm{dm}\cdot e$ | $:0{,}375\mathrm{dm}$
  $8\mathrm{dm}$ = $e$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{f}{2}\right)^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2$
	↓	Das ist der Satz des Pythagoras. Jetzt kannst du für $f=8\,\text{cm}$ und $e=12\,\text{cm}$ einsetzen.
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{8cm}{2}\right)^2+\left(\dfrac{12cm}{2}\right)^2$
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle \left(4cm\right)^2+\left(6cm\right)^2$
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle 16cm^2+36cm^2$
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle 52cm^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt{52cm^2}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 7{,}211...cm$
	↓	Runde auf eine Nachkommastelle.
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 7{,}2\ cm$

Aufgaben zu Drachenviereck und Raute

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Raute

Dreieck

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