Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& y-3x& =& 1& |+3x\\ \mathrm{I}& y& =& 3x+1& \\ \mathrm{II}& x+y& =& 1& |-x\\ \mathrm{II}& y& =& -x+1& \end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x=0$ und $y=1$. Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(0|1\right)\right\}$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{I}& y& =& 3x+1\\ \mathrm{II}& y& =& -x+1\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccc}3x+1& =& -x+1& |-1\\ 3x& =& -x& |+x\\ 4x& =& 0& |:4\\ x& =& 0& \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$.

$y=0+1=1$

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

$L=\left\{\left(0|1\right)\right\}$

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& 2y+5x& =& 3& |-5x\\ \mathrm{I}& 2y& =& -5x+3& |:2\\ \mathrm{I}& y& =& -\mathrm{2,5}x+1,5& \\ \mathrm{II}& x-y& =& 1& |-x\\ \mathrm{II}& -y& =& -x+1& |\cdot (-1)\\ \mathrm{II}& y& =& x-1& \end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x\approx \mathrm{0,71}$ und $y\approx -\mathrm{0,29}$. Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(\mathrm{0,71}|-\mathrm{0,29}\right)\right\}$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{I}& y& =& -\mathrm{2,5}x+1,5\\ \mathrm{II}& y& =& x-1\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccc}-\mathrm{2,5}x+\mathrm{1,5}& =& x-1& |-x\\ -\mathrm{3,5}x+1,5& =& -1& |-\mathrm{1,5}\\ -\mathrm{3,5}x& =& -\mathrm{2,5}& |:(-\mathrm{3,5})\\ x& =& {\displaystyle \frac{5}{7}}\approx \mathrm{0,71}& \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{II}$.

$y={\displaystyle \frac{5}{7}}-1=-{\displaystyle \frac{2}{7}}\approx -\mathrm{0,29}$

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

$L=\left\{\left({\displaystyle \frac{5}{7}}|-{\displaystyle \frac{2}{7}}\right)\right\}$

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen.

Graphisches Lösen

Um das Gleichungssystem graphisch lösen zu können, kannst du die einzelnen Geichungen nach $y$ auflösen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. Anschließend brauchst du nur noch die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden abzulesen.

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}& 5y-3x& =& 10& |+3x\\ \mathrm{I}& 5y& =& 3x+10& |:5\\ \mathrm{I}& y& =& \mathrm{0,6}x+2& \\ \mathrm{II}& 4x+5y& =& 16& |-4x\\ \mathrm{II}& 5y& =& -4x+16& |:5\\ \mathrm{II}& y& =& -\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}& \end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $x\approx \mathrm{0,86}$ und $y\approx \mathrm{2,51}$. Somit lautet die Lösungsmenge $L=\left\{\left(\mathrm{0,86}|\mathrm{2,51}\right)\right\}$.

Rechnerisches Lösen

In diesem Fall bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, da du zum graphischen Lösen bereits beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst hast.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{I}& y& =& \mathrm{0,6}x+2\\ \mathrm{II}& y& =& -\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\end{array}$

Setze $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccc}\mathrm{0,6}x+2& =& -\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}& |-2\\ \mathrm{0,6}x& =& -\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}& |+\mathrm{0,8}x\\ \mathrm{1,4}x& =& \mathrm{1,2}& |:\mathrm{1,4}\\ x& =& {\displaystyle \frac{6}{7}}\approx \mathrm{0,86}& \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein, z.B in $\mathrm{I}$.

$y=\mathrm{0,6}\cdot {\displaystyle \frac{6}{7}}+2={\displaystyle \frac{88}{35}}\approx 2,51$

Du kannst nun die Lösungsmenge angeben.

$L=\left\{\left({\displaystyle \frac{6}{7}}|{\displaystyle \frac{88}{35}}\right)\right\}$