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Einführung in lineare Gleichungssysteme- Teil 1

13Das Gleichsetzungsverfahren - Schritt für Schritt!

Du hast gerade gesehen, wie das Gleichsetzungsverfahren in einem bestimmten Beispiel angewendet wurde. Nun wird nochmal allgemein betrachtet, wie das Verfahren funktioniert.

Grundvoraussetzung

Die beiden Gleichungen in deinem Gleichungssystem müssen beide nach dem gleichen Term aufgelöst sein! In diesem Term sollte eine Unbekannte (oft xx oder yy) vorkommen, die dann nicht mehr auf der anderen Seite steht.

Beispiel 1

I)y=−3x+5II)y=2x+1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I}) & y &= &-3x+5 \\\mathrm{II}) & y &=& 2x + 1\end{array}

Beispiel 2

I)2x+1=3yII)2x+1=6y−5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I})& 2x+1&=& 3y \\\mathrm{II}) & 2x+1&=& 6y-5\end{array}

1. Schritt

Setze die beiden Seiten der Gleichungen zusammen, die nicht gleich sind.

Beispiel 1

I=II−3x+5=2x+1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\mathrm{I}&=&\mathrm{II} \\-3x+5&=&2x + 1 \end{array}

Beispiel 2

I=II3y=6y−5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\mathrm{I}&=&\mathrm{II} \\3y&=&6y -5 \end{array}

2. Schritt

Löse nach der verbliebenen Unbekannten auf.

Beispiel 1

I=II−3x+5=2x+1∣+3x5=5x+1∣−14=5x∣:5x=45\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlll}\mathrm{I}&=&\mathrm{II}& & \\-3x+5&=&2x + 1& |+3x\\5&=&5x+1& |-1\\4 &=&5x& |:5\\x&=&\frac{4}{5}\end{array}

Beispiel 2

I=II3y=6y−5∣−6y−3y=−5∣:(−3)y=53\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlll}\mathrm{I}&=&\mathrm{II}& & \\3y&=&6y-5& |-6y\\-3y&=&-5& |:(-3)\\y&=&\frac{5}{3}\end{array}

3. Schritt

Setze in eine der beiden Gleichungen ein.

Beispiel 1

In I\mathrm{I}:

y=2⋅45+1y= 2\cdot \frac{4}{5} +1

y=135y=\frac{13}{5}

SP  (45∣135)SP \; (\frac{4}{5}|\frac{13}{5})

Beispiel 2

In II\mathrm{II}:

2x+1=3⋅532x+1=5∣−12x=4∣:2x=2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}2x+1&=&3\cdot \frac{5}{3} \\2x+1&=&5&|-1\\2x&=&4& |:2 \\x&=&2\end{array}

SP  (2∣53)SP \; (2|\frac{5}{3})


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