Termumformung mit Variablen

Termumformung bezeichnet das Verändern der Gestalt eines Terms, bei dem sich dessen Wert aber nicht ändert.

Einfache Termumformungen

Umordnen

Aufgrund des Kommutativgesetzes darf man die Summanden bzw. Faktoren eines Terms beliebig vertauschen.

Dies kann auch das Vereinfachen von Teiltermen erleichtern: %%x^2z+xy-zx^2+yx=x^2z-x^2z+xy+xy=2xy%%

Mithilfe des Distributivgesetzes

• Faktorisieren / Ausklammern

• Ausmultiplizieren

Ausrechnen

Manchmal können in einem Term Teile zusammengefasst werden, so z.B. im Term %%x-5+8%% , der denselben Wert hat wie %%x+3%%

Null addieren (addieren und gleichzeitig abziehen)

Der Wert eines Terms ändert sich auch nicht, wenn man Null addiert, d.h, wenn man einen Term hinzuzählt und gleich wieder abzieht:

%%x^2=x^2+a^2-a^2%%

Manchmal kann man einen Term dadurch in eine vorteilhaftere Form bringen, z.B. bei der quadratischen Ergänzung

Umformen mit bekannten Formeln

Generell kann man in einem Term immer einen Teilterm durch einen anderen Term ersetzen, wenn man weiß, dass beide gleich sind. Als Quelle können Rechenregeln (wie die Potenzgesetze) oder andere bekannte Gleichheiten (wie z.B. %%\sin^2(x)+\cos^2(x)=1%% ) dienen.

Es empfiehlt sich, die wichtigsten Umformungsregeln sicher zu beherrschen.

Dazu gehören unter anderem:

• Distributivgesetz , Assoziativgesetz und Kommutativgesetz

• Kürzen und erweitern von Brüchen

• Potenzgesetze

• Teilweises radizieren

Oft können auch Regeln für bestimmte Funktionen hilfreich sein.

• Umformungsregeln für den Logarithmus und die Exponentialfunktion

• Additionstheoreme des Sinus und Cosinus

Beispiele

• %%\sin^2(x)+\cos^2(x)-1%% kann umgeformt werden zu 0 (erst %%\sin^2(x)+\cos^2(x)=1%% ersetzen und dann ausrechnen)

• %%a^1a^2a^3a^4+\sin^2(x)+\cos^2(x)%% kann umgeformt werden zu %%a^{10}+1%% (Potenzgesetze)