Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Kamera befindet sich in ihrer Ursprungsposition $K_0$ direkt über dem Anstoßpunkt $A$. Aus der Angabe kann man herauslesen, dass sie zunächst in einer Höhe von $25 \; \mathrm{m}$ ist. So sind ihre Koordinaten einfach zu bestimmen.

Die Kamera befindet sich ursprünglich in $K_0(45|60|25)$.

Anschließend wird die Kamera zu Beginn des Spiels um $19 \; \mathrm{m}$ abgesenkt. Es ändert sich nur ihre $x_3$-Koordinate, da sie sich erneut direkt über $A$ befindet. Man rechnet $25 - 19 = 6$, um herauszufinden, in wie weit sie sich nun über dem Spielfeld befindent

Die zweite Position der Kamera ist $K_1(45|60|6)$.

Seillängen

Da sich die Kamera in ihren ersten beiden Positionen im Zentrum der vier Seilwinden befindet, reicht es aus, nur den Abstand zu einer Seilwinde zu bestimmen.

Ziel dieses Aufgabenteils ist es, den Abstand der zwei Kamerapositionen zu $W_1$ zu vergleichen, indem man deren Differenz betrachtet.

Seillänge $[W_1K_0]$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}|\overrightarrow{W_1K_0}| &= &\left| \begin{pmatrix}45\\60\\25\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}45\\60\\-5\end{pmatrix} \right| \\&= &\sqrt{45^2+60^2+(-5)^2} = \sqrt{5650} \\&= &5\sqrt{226}\end{array}$

Seillänge $[W_1K_1]$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}|\overrightarrow{W_1K_1}| &= &\left| \begin{pmatrix}45\\60\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}45\\60\\-24\end{pmatrix} \right| \\&= &\sqrt{45^2+60^2+(-24)^2} = \sqrt{6201} \\&= &3\sqrt{689}\end{array}$

Abstand $d$ von $[W_1K_0]$ und $[W_1K_1]$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}d &= &|\overrightarrow{W_1K_1}| - |\overrightarrow{W_1K_0}| \\&= &3\sqrt{689} - 5\sqrt{226} \\&\approx &3{,}58\end{array}$

Man muss von jeder der vier Seilwinden jeweils $3{,}58 \; \mathrm{m}$ abseilen.

Berechnung von $K_2$

Aus dem Text kannst du schon eine Koordinate von $K_2$ herauslesen. Es heißt "Der Zielpunkt befindet sich in einer Höhe von $10\ m$ über dem Spielfeld." Da das Spielfeld in der $x_1x_2$-Ebene liegt, gilt $x_3=10$.

Außerdem weißt du, dass $K_2$ auf der Geraden $g$ liegt.

Setze $K_1$ in die Geradengleichung ein.

$g: \overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}45\\60\\6\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}3\\20\\2\end{pmatrix}$

Da du die $x_3$ Koordinate weißt, muss gelten:

$6+ \lambda\cdot 2 = 10$

Löse nach $\lambda$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\lambda\cdot 2&=&4\\\lambda &=& 2\end{array}$

Setze $\lambda$ in die Geradengleichung von $g$ ein.

$\overrightarrow{K_2}=\begin{pmatrix}45\\60\\6\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}3\\20\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45\\60\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\40\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix}$

Und schon hast du das Ergebnis $K_2(51|100|10)$.

Die Kamera schwenkt von einer senkrechten Ansicht nach unten auf das Spielfeld in Richtung $B$, wo sich ein Ball befindet. Stelle dir vor, dass die unterschiedlichen Blickwinkel anhand von zwei Vektoren dargestellt werden. Gesucht ist der Winkel zwischen diesen zwei Vektoren.

Zunächst zeigt die Kamera senkrecht nach unten. Da man nichts an ihrer $x_1$- und $x_2$-Koordinate ändert, aber an ihrer $x_3$-Koordinate, ist ihr Richungsvektor somit $v_0 = \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$

Der Blickwinkel von der zweiten Position der Kamera $K_2$ zum Ball $B$ ist gegeben durch den Richtungsvektor $v_1 = \overrightarrow{K_2B} = \begin{pmatrix}40\\105\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\5\\-10\end{pmatrix}$

Der gesuchte Drehwinkel $\alpha$ zwischen diesen Richtungsvektoren $v_0$ und $v_1$ ist gegeben durch

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} &\cos(\alpha) &= &\dfrac{\overrightarrow{v_0} \; \circ \; \overrightarrow{v_1}}{|\overrightarrow{v_0}| \cdot |\overrightarrow{v_1}|} = \dfrac{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-11\\5\\-10\end{pmatrix}}{\sqrt{0^2+0^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-11)^2+5^2+(-10)^2}} \\&&= &\dfrac{0\cdot11+0\cdot5+(-1)\cdot(-10)}{1\cdot\sqrt{246}} \\&&= &\frac{10}{\sqrt{246}} \\\Rightarrow &\alpha &= &\cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{246}}\right)\\&&\approx &50{,}39 °\end{array}$

Die Kamera schwenkt also zur Ballposition in dem Drehwinkel $\alpha \approx 50{,}39 °$.

Bestimmung der Ebenengleichung in Koordiantenform

Gegeben und ausgerechnet sind die Punkte $W_1(0|0|30)$, $W_2(90|0|30)$ und $K_2(51|100|10)$.

Zur Aufstellung einer Ebenengleichung in Koordinatenform benötigst du einen Stützpunkt und zwei Spannvektoren, die von diesem Punkt aus ausgehen und die Ebene aufspannen. Zum Beispiel suchst du dir den Stützpunkt $W_1$ und die Vektoren, die von diesem Punkt aufgespannt werden.

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{W_1} + \mu \cdot \overrightarrow{W_1W_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{W_1K_2}$

Rechne dazu die Vektoren $\overrightarrow{W_1W_2}$ und $\overrightarrow{W_1K_2}$ aus.

$\overrightarrow{ W_1W_2}=\begin{pmatrix}90\\0\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{ W_1K_2}=\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix}$

Setze die Werte in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein.

$\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0\\0\\30 \end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix}$

Bestimmung der Ebenengleichung in Normalenform

Um von der Koordinatenform zur gesuchten Normalenform zu kommen musst du die folgende Formel anwenden:

$E:\overrightarrow{n_E} \circ [\overrightarrow{X}-\overrightarrow{W_1}]=0$

• $\overrightarrow{n_E}$ ist der Normalenvektor. Dieser steht senkrecht zu den beiden Spannvektoren.

• $\overrightarrow{W_1}$ ist dein Stützpunkt

• Da der Normalenvektor senkrecht auf dem Differenzvektor $\overrightarrow{X}-\overrightarrow{W_1}$ steht, setzt man die Gleichung gleich $0$.

Aus den beiden Spannvektoren rechnest du deinen Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{n_E} &=& \overrightarrow{W_1W_2} \times \overrightarrow{W_1K_2}\\&=&\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 51\\100\\-20\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix}\end{array}$

Setze die Vektoren in die Ebenengleichung ein.

$E:\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\right]=0$

Rechne das Skalarprodukt aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlll}E:&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-30\end{pmatrix}\right]&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot (x_3-30)&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot x_3 - 270 \ 000 &=&0\end{array}$

Kürze die Gleichung durch $1800$ damit die großen Zahlen verschwinden.

$E: x_2 + 5x_3 - 150 = 0$

Schon bist du beim Zwischenergebnis. Super! :-)

Jetzt musst du nur noch nachweisen, dass der Punkt $H$ unterhalb dieser Ebene liegt. Hier geht es um die Höhe, du musst also die Koordinate $x_3$ betrachten.

Am Besten siehst du dir den Punkt an, der die selben $x_1$ und $x_2$ Koordinaten wie $H$ hat, aber auf der Ebene $E$ liegt. Du kannst ihn zum Beispiel $P\left(50\vert70\vert x_3\right)$ nennen. Seine $x_3$ Koordinate kannst du herausfinden, indem du die Werte $x_1 = 50$ und $x_2 = 70$ in die Ebenengleichung einsetzt und dann nach $x_3$ auflöst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}70\ +\ 5x_3\ -\ 150 &=& 0 && \\5x_3\ -\ 80 &=& 0 &\vert& +\ 80 \\5x_3 &=& 80 &\vert& \colon\ 5 \\x_3 &=& 16\end{array}$

Die $x_3$ Koordinate, also Höhe, von dem Punkt $P\left(50\vert70\vert16\right)$, der auf der Ebene $E$ liegt, ist also $16$ und damit größer, als die $x_3$ Koordinate von $H\left(50\vert70\vert15\right)$.

Das heißt der Punkt $H$ liegt unterhalb der Ebene $E$.

Die Flugbahn eines Balles ist nicht geradlinig. Ein Ball fliegt meistens parabelförmig. Aus diesem Grund kann der Ball die Ebene berühren oder sogar schneiden, auch, wenn der Start- und Endpunkt der Flugbahn unterhalb der Ebene liegen.

Die Aussage ist also nicht wahr.

Obwohl der Hochpunkt der Flugbahn unterhalb der Ebene liegt, kann der Ball die Ebene und also auch die Seile berühren.