Teil B, Gruppe 1 - lernen mit Serlo!

Aus einem regelmäßigen sechsseitigen Prisma wird ein Keil herausgeschnitten. Berechne die Oberfläche des dargestellten Körpers (siehe Skizze).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma

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[https://youtu.be/K3gjVM55Ebw]

Berechnung des Oberflächeninhalts des Prismas

Hier brauchst du den Oberflächeninhalts des Prismas und den Satz des Pythagoras.

Berechnung der Seitenflächen

Teile die Grundfläche des Prismas in 5 gleichschenklige Dreiecke.

Berechne mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Höhe des Dreiecks. Überlege dir, welche Seiten gesucht und gegeben sind.

$a = 15\, \text{cm}$ $b = gesucht$ $c = 30\, \text{cm}$

$\displaystyle a^2\ +\ b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle (15\,\text{cm})^2+b^2$	$=$	$\displaystyle (30\, \text{cm})^2$	$\displaystyle -(15\, \text{cm})^2$
	↓	Stelle nach $b^2$ um, indem du $15^2$ auf beiden Seiten subtrahierst.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle ( 30\, \text{cm})^2 - (15\, \text{cm})^2$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(30\, \text{cm})^2-(15\, \text{cm})^2}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{675\, \text{cm}^2}$	$\displaystyle$
	↓	Runde.
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 26\, \text{cm}$

Berechne nun den Flächeninhalt des Dreiecks.

$\displaystyle A_{Dreieck}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot a \cdot h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot 30\, \text{cm} \cdot 26\, \text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 390\, \text{cm}^2$

Insgesamt liegt diese Dreieck 10mal vor. 5mal vorne und 5mal hinten. Nehme also den Flächeninhalt des Dreiecks mal 10.

$10 \cdot 390\, \text{cm}^2 = 3900\, \text{cm}^2$

Mantelfläche berechnen

Berechne die Größe der Mantelfläche.

Berechne die Fläche eines Rechtecks.

$A = 30 \, \text{cm}\cdot 150\, \text{cm} = 4500\, \text{cm}^2$

Insgesamt sind 7 solcher Rechtecke vorhanden. 5 an der Außenseite und 2 an der Innenseite.

$M = 7 \cdot 4500 \, \text{cm}^2= 31500\, \text{cm}^2$

Addiere nun die Mantelfläche zu der Grund und Deckfläche und du erhälst den gesamten Oberflächeninhalt.

$O = 3900 \, \text{cm}^2+ 31500\, \text{cm}^2 = 35400\, \text{cm}^2$

$\Rightarrow$ Die gesamte Oberfläche beträgt $35400\, \text{cm}^2$ .

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