Teil B, Gruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine Schule kauft $86$ Stühle in drei verschiedenen Farben.
Die Anzahl der roten Stühle ist halb so groß wie die Anzahl der grünen Stühle. Von den weißen Stühlen werden $44$ weniger gekauft als von den grünen Stühlen.
Wie viele rote, grüne und weiße Stühle werden jeweils gekauft? Löse mit Hilfe einer Gleichung.
Punkte: 4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen lösen
Videolösung
Textlösung
Wir verwenden für die Lösung folgende Abkürzungen:
Rote Stühle: r Weiße Stühle: w Grüne Stühle: g
Es ist sinnvoll, Abkürzungen zu verwenden, um sich Schreibarbeit zu sparen, es müssen aber natürlich nicht genau die gleichen sein.
Lösung mit Gleichungssystem
Gleichungen aufstellen
Stelle für jede Farbe und für die Gesamtheit der Stühle eine Gleichung auf.
(1) $r + g + w = 86$ (2) $r = \frac {1}{2} \cdot g$ (3) $w= g - 44$
Gleichungssystem lösen
Ersetze in Gleichung (1) $r$ durch die rechte Seite von Gleichung (2) und $w$ durch die rechte Seite von Gleichung (3).
$\frac12\cdot g+g+(g-44)=86$
Löse die lineare Gleichung auf. Beginne damit, die Klammer wegzulassen (das darfst du ohne Veränderung, weil ein Plus vor der Klammer steht).
$\frac12\cdot g+g+g-44=86$
Addiere alles "mit $g$ " auf der linken Seite.
$2{,}5g-44=86\qquad |+44$
Addiere auf beiden Seiten $44$ .
$2{,}5g=130\qquad|:2{,}5$
Dividiere beide Seiten durch den Faktor $2{,}5$ .
$g=52$
Setze $g$ in die Gleichungen (2) und (3) ein.
(2) $r=\frac12\cdot 52=26$
(3) $w=52-44=8$
Lösung
$\Rightarrow$ Es gibt $26$ rote Stühle, $52$ grüne Stühle und $8$ weiße Stühle.
oder
Lösung mit einer Gleichung
$g = x$
Stelle für jede Farbe eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ auf.
$r = \frac {1}{2} \cdot x$ $w = x - 44$ $g = x$
Stelle eine Gleichung für die Gesamtheit aller Stühle auf.
$r + g + w = 86$
Setze nun die Gleichung der einzelnen Farben ein.
$\frac{1}{2} \cdot x + x+ x- 44 = 86$
Löse die Gleichung (ausführliche Erklärung in der Lösung oben).
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} \frac{1}{2} \cdot x + x+ x- 44 &=& 86 &|+44 \\ \frac{1}{2} \cdot x + x+ x &=& 130 \\ 2{,}5 x &= &130 &| :2{,}5 \\ x &=& 52 \end{array}$
$\Rightarrow$ $g = x = 52$
Berechne $r$ und $w$ .
$r = \frac {1}{2} \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 52 = 26$ $w = x - 44 = 52 - 44 = 8$ $\Rightarrow$ Es gibt $52$ grüne Stühle, $26$ rote Stühle und $8$ weiße Stühle.

Aus einem regelmäßigen sechsseitigen Prisma wird ein Keil herausgeschnitten. Berechne die Oberfläche des dargestellten Körpers (siehe Skizze).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma

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[https://youtu.be/K3gjVM55Ebw]

Berechnung des Oberflächeninhalts des Prismas

Hier brauchst du den Oberflächeninhalts des Prismas und den Satz des Pythagoras.

Berechnung der Seitenflächen

Teile die Grundfläche des Prismas in 5 gleichschenklige Dreiecke.

Berechne mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Höhe des Dreiecks. Überlege dir, welche Seiten gesucht und gegeben sind.

$a = 15\, \text{cm}$ $b = gesucht$ $c = 30\, \text{cm}$

$\displaystyle a^2\ +\ b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle (15\,\text{cm})^2+b^2$	$=$	$\displaystyle (30\, \text{cm})^2$	$\displaystyle -(15\, \text{cm})^2$
	↓	Stelle nach $b^2$ um, indem du $15^2$ auf beiden Seiten subtrahierst.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle ( 30\, \text{cm})^2 - (15\, \text{cm})^2$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(30\, \text{cm})^2-(15\, \text{cm})^2}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{675\, \text{cm}^2}$	$\displaystyle$
	↓	Runde.
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 26\, \text{cm}$

Berechne nun den Flächeninhalt des Dreiecks.

$\displaystyle A_{Dreieck}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot a \cdot h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5 \cdot 30\, \text{cm} \cdot 26\, \text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 390\, \text{cm}^2$

Insgesamt liegt diese Dreieck 10mal vor. 5mal vorne und 5mal hinten. Nehme also den Flächeninhalt des Dreiecks mal 10.

$10 \cdot 390\, \text{cm}^2 = 3900\, \text{cm}^2$

Mantelfläche berechnen

Berechne die Größe der Mantelfläche.

Berechne die Fläche eines Rechtecks.

$A = 30 \, \text{cm}\cdot 150\, \text{cm} = 4500\, \text{cm}^2$

Insgesamt sind 7 solcher Rechtecke vorhanden. 5 an der Außenseite und 2 an der Innenseite.

$M = 7 \cdot 4500 \, \text{cm}^2= 31500\, \text{cm}^2$

Addiere nun die Mantelfläche zu der Grund und Deckfläche und du erhälst den gesamten Oberflächeninhalt.

$O = 3900 \, \text{cm}^2+ 31500\, \text{cm}^2 = 35400\, \text{cm}^2$

$\Rightarrow$ Die gesamte Oberfläche beträgt $35400\, \text{cm}^2$ .

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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In zwei Geschäften wird das neue Modell eines Fernsehgerätes angeboten. In den Angebotspreisen sind jeweils $19\ \%$ Mehrwertsteuer (MwSt.) enthalten:
[4 Punkte]
1. Berechne den zu zahlenden Preis bei Angebot A.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
  Die 999€ sind der Ausgangspreis des Fernsehers, das entspricht $100\%$ . Ein Prozent ist also $999€$ geteilt durch $100$ .
  $999€\ :\ 100\ =\ 9{,}99€$
  Wenn man $15%$ Rabatt auf diesen Preis bekommt, kostet der Fernseher am Schluss nur noch $100%−15%=85%$ seines ursprünglichen Werts. Für das Ergebnis musst du noch $85$ mal den Betrag pro Prozent ( $9{,}99€$ ) rechnen.
  $\displaystyle 9{,}99€\cdot85$ $=$ $\displaystyle 849{,}15€$
  Der Preis bei Angebot A ist $849{,}15€$
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2. Um wie viel Prozent erhöht sich bei Ratenzahlung der ursprüngliche Preis bei Angebot B?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
  Wenn man den Fernseher in Raten zahlt, zahlt man 10 Mal $110\ €$ , also zahlt man:
  $\displaystyle 10\cdot110\ €$ $=$ $\displaystyle 1100\ €$
  Berechne die Preiserhöhung, indem du von dem neuen Preis den ursprünglichen Preis abziehst.
  $\displaystyle 1100\ €-949\ €$ $=$ $\displaystyle 151\ €$
  Der Preis erhöht sich also um $151\ €$ . Um herauszufinden, wieviel Prozent das entspricht. Dazu muss man herausfinden, wie viel Euro einem Prozent entsprechen. Dafür teilst du den ursprünglichen Preis $949\ €$ durch $100$ :
  $\displaystyle 949\ €:100$ $=$ $\displaystyle 9{,}49\ €$
  Du willst wissen, wie viel Prozent $151\ €$ sind, also musst du $151\ €$ durch den Eurobetrag für einen Prozent ( $9{,}49\ €$ ) teilen:
  $\displaystyle \frac{151\ €}{9{,}49\ €}$ $=$ $\displaystyle 16\ \%$
  Man zahlt in etwa $16\ \%$ Zinsen.
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3. Wie hoch ist der Preis einesweiterenFernsehgerätesohne 19% MwSt., wenn der zu zahlende Preis mit MwSt. 979,-€ beträgt?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
  Diese Aufgabe löst du am besten mit einem Dreisatz. Dabei gehst du davon aus, dass der gesuchte Wert 100% entspricht und der Wert mit MwSt. 119%.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}119\%≙979€\end{array}$
  Teile auf beiden Seiten durch 119, um zu sehen wieviel Euro 1% entsprechen.
  $1\%≙8{,}2269€$
  Multipliziere auf beiden Seiten mit 100
  $100\%≙822{,}69€$
  Jetzt hast du den gesuchten Wert: Der Preis ohne Mehrwertsteuer ist $822{,}69€$ .
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4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aus einer mit $150\ l$ Wasser gefüllten Wanne fließen pro Minute $20\ l$ Wasser ab.
1. Übertrage folgende Wertetabelle und ergänze sie.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplizieren
  Gegeben: In einer Minute laufen $20\, l$ ab.
  Gesucht: Restliche Wassermenge für $0{,}5\min$ und $5{,}5\min$ sowie vergangene Zeit in min bei einer Wassermenge von $90\ l$ .
  $0{,}5 \; \text{min}$ ist eine halbe Minute. In einer halben Minute läuft die Hälfte von $20 \;\text{l}$ ab.
  $0{,}5 \cdot 20\,l = 10\,l$
  $10\ l$ sind in einer halben Minute abgelaufen. Ziehe für die Restmenge an Wasser $10\,l$ von der Anfangsmenge ab.
  $150\,l - 10\,l = 140\,l$
  vergangene Zeit in Minuten
  0,5
  ?
  5,5
  restliche Wassermenge in der Wanne in Litern
  140
  90
  ?
  In $5{,}5$ Minuten läuft $5{,}5$ mal so viel Wasser ab, wie in einer Minute. Multipliziere deswegen die Wassermenge, die in einer Minute abfließt mit
  $5{,}5$ .
  $ 5{,}5 \cdot 20\,l = 110\,l$
  Ziehe für die Restmenge an Wasser $110\,l$ von der Anfangsmenge ab.
  $150\,l - 110\,l = 40\,l$
  vergangene Zeit in Minuten
  0,5
  ?
  5,5
  restliche Wassermenge in der Wanne in Litern
  140
  90
  40
  Berechne für die fehlende Zeitangabe zuerst die Wassermenge, die abgeflossen ist.
  $150\,l - 90\,l = 60\,l$
  Berechne, wie viel Minuten das entspricht, indem du $60\,l$ durch $20\,l$ (die Wassermenge pro Minute) teilst.
  $60\,l : 20\,l = 3\,\text{min}$
  Die fertige Tabelle sieht dann so aus:
  vergangene Zeit in Minuten
  0,5
  3
  5,5
  restliche Wassermenge in der Wanne in Litern
  140
  90
  40
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2. Stelle diesen Sachzusammenhang in einem Koordinatensystem grafisch dar.
  Rechtswertachse: $1\ \min$ ≙ $1\ cm$
  Hochwertachse: $10\ l$ ≙ $1\ cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
  Hier solltest du wissen, wie du ein Koordinatensystem zeichnest.
  Zeichne ein Koordinatensystem mit den Achsen, die in der Aufgabenstellung beschrieben sind.
  Trage die Punkte aus der Tabelle aus Teilaufgabe a) ein. Verbinde sie mit dem Lineal zu einer Geraden, da es sich um einen linearen Zusammenhang handelt.
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3. Aus einem mit $3000\ l$ Wasser gefüllten Gartenpool fließen pro Minute $40\ l$ ab. Wie viele Stunden dauert es, bis der Pool leer ist?
  h
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnung von Zeiteinheiten
  Hier brauchst du die Umrechnung von Zeiteinheiten.
  Teile das gesamte Volumen des Pools durch $40\ l$ , um herauszufinden, wie viele Minuten es dauert.
  $3000 \text{l} : 40 \frac{\text{l}}{\text{min}} = 75\text{min}$
  Jetzt weißt du, dass der Gartenpool in $75\ \min$ leer ist. Eine Stunde hat $60\min$ . Teile also das Ergebnis durch $60$ , um dein Ergebnis in Stunden zu erhalten.
  $75 : 60 = 1{,}25$
  $\Rightarrow$ In $1{,}25$ Stunden ist der Gartenpool leer.
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vergangene Zeit in Minuten	0,5	?	5,5
restliche Wassermenge in der Wanne in Litern	140	90	?

vergangene Zeit in Minuten	0,5	?	5,5
restliche Wassermenge in der Wanne in Litern	140	90	40

vergangene Zeit in Minuten	0,5	3	5,5
restliche Wassermenge in der Wanne in Litern	140	90	40

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Textlösung

Lösung mit Gleichungssystem

Gleichungen aufstellen

Gleichungssystem lösen

Lösung

oder

Lösung mit einer Gleichung

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Mantelfläche berechnen

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