Aufgaben zu Extremwertproblemen

Lösung zu a) mit Scheitelpunktsbestimmung

$A(x) = - 0{,}5 x^2 +20x$

Der Koeffizient vor dem $x^2$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.

Wir ermitteln die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung .

Klammere zuerst $(-0{,}5)$ aus:  $A(x) = (-0{,}5)\cdot (x^2 - 40x)$

Der gemischte Term in der Klammer ist $- 40x$, d.h. die quadratische

Ergänzung ist $(\dfrac{40}{2})^2 = 20^2$.

Addiere in der Klammer $20^2$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder: 

$A(x) = (-0{,}5)\cdot (x^2 - 40x + 20^2 -20^2)$

Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen: $$ $A(x) = (-0{,}5)\cdot ((x - 20)^2 -20^2)$

Löse die Klammer wieder auf:

$A(x) = (-0{,}5)\cdot (x - 20)^2+(-0{,}5)\cdot(-20^2)=(-0{,}5)\cdot (x - 20)^2+200$Lies den Scheitelpunkt ab: $S(20\vert 200)$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt$x= 20\, \mathrm{m}$

und der maximale Flächeninhalt $200\, \mathrm{m^2}$.

Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y = 20-0{,}5\cdot x$ ein.

$y = 20-0{,}5\cdot 20 =20-10 = 10$.

Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt $10\, \mathrm{m}$.

Lösung zu b) mit der Ableitung

$$

$A(x) = - 0{,}5 x^2 +20x$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall $0\lt x\lt40$.

Für $x=0$  und für $x=40$ erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0\,\mathrm{m^2}$), d.h. eine Strecke der Länge $40\, \mathrm{m}$.

Bedingung für ein Maximum: $A'(x) = 0$ und $$ $A''(x) \lt 0$

Die beiden Ableitungen lauten:

$A'(x) = - x +20$

$A''(x) = -1< 0$

Setze $A'(x)$ gleich Null: $0 = - x +20 \Rightarrow x=20$         

$x=20$ ist im Definitionsbereich von $$$A(x)$enthalten.

Da $A''(x)<0_{ }$ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y = 20-0{,}5\cdot x$ ein: $$$y=20-0{,}5\cdot 20 = 20-10 = 10$

Nun kann die maximale Fläche berechnet werden: $A = x\cdot y=20\cdot 10 = 200.$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt $x= 20\, \mathrm{m}$, die Länge des senkrechten Zaunstückes $y$ ist $10\, \mathrm{m}$ und der maximale Flächeninhalt beträgt $200\, \mathrm{m}^2$.