Teilaufgabe a)

Trotz des langen Vortextes ist diese Aufgabe eine Standardaufgabe zum Signifikanztest, wo Nullhypothese H$_0$, Stichprobenumfang $n$, Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und Signifikanzniveau $\alpha$ gegeben sind und wie üblich der kritische Bereich (Ablehnungsbereich) K des Wertebereichs der Zufallsgröße Z zu bestimmen ist.

Formulierung der Nullhypothese:

H$_0$: $p\geq 0{,}15\;$, d. h. die Kunden nehmen das Angebot eher an!

Der Test wird mathematisch durch eine Binomialverteilung modelliert. Als Treffer wird bezeichnet, wenn ein Kunde die App nutzt. Für jeden Kunden wird die gleiche Trefferwahrscheinlichkeit $0{,}15$ unterstellt.

Gibt es in der Stichprobe nur wenig Treffer, führt das zur Ablehnung der Nullhypothese, der Ablehnungsbereichs $K$ liegt also auf der linken Seite des Wertebereichs der Zufallsgröße $Z$.

Aufstellen der Entscheidungsregel:

Die Entscheidungsregel ist gefunden, wenn die Grenzzahl $g$ bestimmt ist und damit der Ablehnungsbereich festgelegt ist.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ gibt ein Maximum für den Fehler erster Art vor, also lautet der Ansatz:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} P_{0{,}15}^{200}(Z\in K)&\leq&0{,}10 \\ P_{0{,}15}^{200}(Z\leq g)&\leq&0{,}10 \end{array}$

Aus der Tabelle des Tafelwerks mit $p=0{,}15$ und $n=200$ kannst Du ablesen, dass $g=23$ die richtige Wahl ist.

Entscheidungsregel: Trefferzahlen aus dem Intervall $[0;\; 23]$ führen zur Ablehnung der Nullhypothese.

Teilaufgabe b)

Die Wahl der Nullhypothese wird so getroffen, dass das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein ist.

Bei der schon betrachteten Nullhypothese II wäre die Fehlentscheidung:

• Tatsächlich nehmen die Kunden die App an, aber das wird in der Stichprobe nicht erkannt.

• In der Folge würde die App nicht eingeführt werden

• Dies hätte einen Imageverlust der Handelskette zur Folge

Bei der Wahl der Nullhypothese II wurde also darauf geachtet, keinen irrtümlichen Imageverlust zur riskieren!