Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Bestandsaufnahme: Es gibt ein Glücksrad mit zwei Sektoren. Das Glücksrad wird zweimal gedreht und die jeweiligen Ergebnisse für den Gesamtrabatt multipliziert.

• Der Sektor $5\ \%$ wird mit Wahrscheinlichkeit $p$ angenommen

• Der Sektor $2\ \%$ wird mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ angenommen (als Gegenwahrscheinlichkeit).

Zeichne zunächst das Baumdiagramm:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Rabatt von $10\ \%$.

Um diesen Rabatt zu erhalten, muss beim Glücksrad einmal eine $5$ und einmal eine $2$ „gedreht” werden. Damit gibt es zwei Pfade in obigem Baumdiagramm, die günstig sind. Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich:

$P(„ 10 ~\% \; \text{Rabatt}”)=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p$

Multipliziere die Klammern aus und du erhältst:

$P(„ 10~ \% \; \text{Rabatt}”)=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p=p-p^2+p-p^2=2p-2p^2$.

Der Vergleich mit dem Kontrollergebnis sagt dir, dass du richtig gerechnest hast.

Mögliche Resultate für Kunden sind

• $4\ \%$ Rabatt; die zu $(1-p)^2$

• $10\ \%$ Rabatt mit Wahrscheinlichkeit $2p-2p^2$

• $25\ \%$ Rabatt mit Wahrscheinlichkeit $p^2$

Die Wahrscheinlichkeiten hierfür berechnest du mithilfe des obigen Baumdiagramms und der Pfadregeln.

Berechne den Erwartungswert:

$4\cdot (1-p)^2+10\cdot (2p-2p^2)+25\cdot p^2$

Multipliziere nun die Ausdrücke aus.

$=4\cdot (1-2p+p^2)+10\cdot (2p-2p^2)+25p^2$

Vereinfache.

$=4-8p+4p^2 +20p-20p^2 + 25p^2 \\ =4+12p+9p^2$

Der Erwartungswert beträgt also $E(X)=4+12p+9p^2$. Der Vergleich mit dem Kontrollergebnis sagt dir, dass du richtig gerechnet hast.

Da sich der Durchschnitt der Rabatte an den Erwartungswert annähert, soll der Erwartungswert gemäß Aufgabenstellung gleich $16$ sein:

$E(X)=4+12p+9p^2\overset{!}{=}16$

Siehe hierzu auch das Gesetz der großen Zahlen.

Löse nun nach $p$.

$4+12p+9p^2=16$

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung $16$ ab, damit auf einer Seite Null steht.

$9p^2+12p-12=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$p_{1/2}=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot9\cdot(-12)}}{2\cdot9}=\frac{-12\pm\sqrt{144+432}}{18}=\frac{-12\pm\sqrt{576}}{18}=\frac{-12\pm24}{18}$

$p_1=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Wir haben hier nur die positive Lösung bestimmt. Eine negative Lösung würde eine negative Wahrscheinlichkeit bedeuten, was bekanntermaßen keinen Sinn macht.

Wenn die Geschäftsführung im Mittel einen Rabatt von $16\ \%$ geben möchte, muss die Wahrscheinlichkeit, dass eine $5$ gedreht wird, $p=\frac{2}{3}$ betragen.

Du kennst diesen Aufgabentyp vielleicht unter dem Begriff „ Drei - Mal - mindestens - Aufgabe”.

Gesucht ist hierbei die Mindest-Anzahl der Kunden, sodass

• mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\ \%$

• mindestens ein Kunde

den niedrigsten Rabatt von $4\ \%$ erhält. Die Wahrscheinlichkeit, dass man $4\ \%$ Rabatt erhält, beträgt nach Aufgabenstellung $\frac{1}{9}$.

$P(\text{"mindestens ein Kunde bekommt einen } 4~ \% \text{ Rabatt"})$

$P(\text{"mindestens ein Kunde bekommt einen } 4~ \% \text{ Rabatt"})\ge 0{,}99$

Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit.

$P(\text{kein Kunde bekommt einen 4~\% Rabatt})\le 0{,}01$

Es handelt sich um eine Bernoulliverteilung. Setze ein.

$B(n,0,p_{4\%}=\frac{1}{9})=\binom{n}{0}\cdot p_{4\%}^0\cdot p_{\text{nicht 4\%}}^n=\left(\frac{8}{9}\right)^n\le 0{,}01$

Wende den natürlichen Logarithmus an. Da der natürliche Logarithmus bei Zahlen zwischen $0$ und $1$ negativ ist, musst du „$\leq$” zu „$\geq$” verändern.

$\ln \left(\frac{8}{9}\right)^n\ge \ln (0{,}01)$

Verwende die Rechenregeln für den Logarithmus.

$n\cdot \ln \left(\frac{8}{9}\right)\ge \ln (0{,}01)$

Löse nach $n$ auf.

$n\ge \frac{\ln (0{,}01)}{\ln \left(\frac{8}{9}\right)}\approx 39{,}099$

Es müssen also $40$ Kunden einkaufen, damit mit einer Wahrscheinlickeit von mehr als $99~\%$ mindestens ein Kunde den niedrigsten Rabatt bekommt.