Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Schätze den Wert von $\sqrt{7}$ .

Berechne dazu die ersten vier Schritte des Heron-Verfahrens und schätze anschließend den Wert von $\sqrt{7}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Heron-Verfahren

Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren ist eine Methode, um den Wert von Wurzeln (schrittweise) abzuschätzen.

Du suchst ein Quadrat, dessen Flächeninhalt genau dem Radikanden $7$ entspricht. Dazu bildest du zuerst ein Rechteck, dessen Seiten du Schritt für Schritt veränderst.

1. Schritt

Das erste Rechteck findest du, indem du einen Teiler des Radikanden suchst und dann die zweite Seite durch Auflösen der Formel für den Flächeninhalt für Rechtecke.

$A = a \cdot b$

$A$ entspricht dem Radikanden. In unserem Fall ist $A = 7$ und nur durch $1$ und sich selbst $7$ teilbar. Daraus ergeben sich unsere Anfangswerte $a_{0}$ und $b_{0}$ .

$a_{0} = 7$

$b_{0} = 1$

Im Bild unten siehst du das anfängliche Rechteck.

Die nächsten Schritte laufen immer in der folgenden Reihenfolge ab:

Zuerst bildest du den Mittelwert der alten Werte und berechnest daraus dein neues $a$ .
$b$ findest du, indem du $b = \frac{A}{a}$ rechnest und dort das neue $a$ einsetzt und den Radikanden für $A$ .

Eine ausführliche Erklärung dieser Schritte findest du hier.

2. Schritt

Bilde den Mittelwert von $a_{0}$ und $b_{0}$ .

$a_{1} = \frac{a_{0} + b_{0}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Berechne anschließend $b_{1}$ .

$b_{1} = \frac{A}{a_{1}} = \frac{Radikand}{a_{1}} = \frac{7}{4} = 1,75$

Deine neuen Werte:

$a_{1} = 4$

$b_{1} = 1,75$

Im Bild unten siehst du das ursprüngliche Rechteck und das neue, das sich mehr einem Quadrat angenähert hat.

3. Schritt

Bilde den Mittelwert von $a_{1}$ und $b_{1}$ .

$a_{2} = \frac{a_{1} + b_{1}}{2} = \frac{4 + 1,75}{2} = 2,875$

Berechne anschließend $b_{2}$ .

$\begin{array}{l} b_{2} = \frac{A}{a_{2}} = \frac{Radikand}{a_{2}} \\ = \frac{7}{2,875} = 2,4348 \end{array}$

Deine neuen Werte sind:

a_{2} = 2,875

b_{2} = 2,4348

Im Bild unten siehst du die Veränderung der Rechtecke.

4. Schritt

Bilde den Mittelwert von $a_{2}$ und $b_{2}$ .

$a_{3} = \frac{a_{2} + b_{2}}{2} = \frac{2,875 + 2,4348}{2} = 2,6548$

Berechne nun $b_{3}$ .

$\begin{array}{l} b_{3} = \frac{A}{a_{3}} = \frac{Radikand}{a_{3}} \\ = \frac{7}{2,6548} = 2,6367 \end{array}$

Deine endgültigen Werte sind $a_{3} = 2,6548$ und $b_{3} = 2,6367$ .

Wie dir auffällt, haben sich die beiden Werte sehr stark angenähert.

Im Bild unten siehst du die Veränderung der Rechtecke. Das letzte (lila) ist schon nah an einem Quadrat.

Abschätzung

Für die Abschätzung bildest du nochmal den Mittelwert zwischen den beiden letzten Seiten.

\sqrt{7} \approx \frac{2,6548 + 2,6367}{2} = 2,64575

Zum Vergleich: Wenn du den Wert im Taschenrechner berechnest, erhältst du den gerundeten Wert: $2,64575$ .

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