Aufgaben zum Volumen eines Zylinders

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Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von $h = 15 \;\text{cm}$ . Außerdem hat es den maximalen Durchmesser $d1 = 7{,}5 \; \text{cm}$ und den minimalen Durchmesser $d2 = 4{,}5 \; \text{cm}$ .

Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Abschätzung nach oben

Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d 1$ hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}}\le V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}_{ }}

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d 2$ hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}} \geq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}}

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel $V = r^2\cdot\pi\cdot h$ und die Beziehung $d = \frac{r}2$ :

\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}} = (\frac{d1}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{7{,}5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3}\approx 663 \;\mathrm{cm^3} = 0.663 \;\mathrm{l}

\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}} = (\frac{d2}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{4{,}5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3} \approx 239 \;\mathrm{cm^3} = 0.239\;\mathrm{l}

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:

\displaystyle 0.239 \;\mathrm{l} \leq V_{\text{Weißbierglas}} \leq 0.663 \;\mathrm{l}

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Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.