2017 - lernen mit Serlo!

Bestimme die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der folgenden Bruchgleichung.

$\frac1x=\frac3{x+3}$ $\mathbb{G=Q}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen

1. Definitionsmenge

Wenn du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen willst, musst du dir die Frage stellen, für welche Werte von $x$ eine $0$ im Nenner eines Bruches stehen würde.

Du kannst also jeden Bruch, bei dem ein $x$ im Nenner vorkommt, nacheinander anschauen und dich dabei jedesmal fragen, für welchen Wert von $\mathbf{x}$ der Nenner $\mathbf{0}$ sein würde. Diese Werte musst du aus der Definitionsmenge ausschließen.

Erster Bruch: $\frac{1}{x}$

Der Nenner dieses Bruches ist $x$ . Das heißt, der Nenner wird $0$ , wenn $x = 0$ ist.

Zweiter Bruch: $\frac{3}{x + 3}$

Der Nenner dieses Bruches ist $x + 3$ . Der Nenner wird also $0$ , wenn $x + 3 = 0$ ist. Diese Gleichung kannst du nach x auflösen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} x + 3 &=& 0 &\vert -3 \\ x &=&-3 \end{array}

Der Nenner dieses Bruches wird also $0$ , wenn $x = - 3$ ist.

Definitionsmenge aufschreiben

Jetzt hast du alle Brüche behandelt und kannst die Definitionsmenge aufschreiben:

\displaystyle \mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \lbrace -3; 0 \rbrace

2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren

Jetzt kannst du beginnen, die Gleichung zu lösen. Dazu multiplizierst du die Gleichung mit dem Hauptnenner. Dieser ist: $x\cdot (x + 3)$ .

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} \dfrac{1}{x} &=& \dfrac{3}{x + 3} &\vert x\cdot(x + 3)\\\\ \dfrac{1}{x} \cdot x\cdot(x + 3) &=& \dfrac{3}{x + 3}\cdot x\cdot(x + 3) \end{array}

3. Gleichung auflösen

Nun kannst du die Bruchterme auf beiden Seiten kürzen und die Gleichung nach x auflösen:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} \dfrac{1}{\cancel{x}} \cdot \cancel{x}\cdot(x + 3) &=& \dfrac{3}{\cancel{x + 3}}\cdot x\cdot\cancel{(x + 3)} \\\\ x + 3 &=& 3x &\vert -x \\ 3 &=& 2x &\vert :2 \\ 1{,}5 &=& x \end{array}

4. Lösungsmenge

Du bist fast fertig. Mit den Berechnungen oben hast du folgendes herausgefunden: Wenn du die Bruchgleichung nach $x$ auflöst, kommt $x = 1,5$ raus. Nun musst du noch überprüfen, ob $1,5$ in der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \lbrace -3; 0 \rbrace$ der Gleichung liegt.

Und tatsächlich: In der Definitionsmenge sind nur die $- 3$ und die $0$ ausgeschlossen. Alle anderen rationalen Zahlen liegen innerhalb der Definitionsmenge - also auch die $1,5$ . Daher ist die Lösungsmenge der Gleichung:

\displaystyle \mathbb{L} = \lbrace 1{,}5 \rbrace.

Jetzt bist du fertig!

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