2017

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Kennzeichne mit Farbe alle Punkte, die von den Punkten P und Q gleich weit entfernt sind und zugleich vom Punkt R die Entfernung 3 cm haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte konstruiren
Die Punkte, die von $P$ und $Q$ gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten von $P$ und $Q$ . Zeichne außerdem einen Kreis um $R$ mit Radius $3cm$ . Dieser Kreis schneidet die Mittelsenkrechte von $P$ und $Q$ in $S1$ und $S2$ .
Die Punkte $S1$ und $S2$ sind von $P$ und $Q$ gleich weit entfernt und liegen auf dem Kreis um $R$ mit Radius $3cm$ .
2
Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen $\mathbb{(G= Q)}$ .
$(x-7)^{2} =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation von Klammern
$(x-7)^2=(x-7)\cdot(x-7)=x^2-7x-7x+49=x^2-14x+49$
Die Auflösung der Klammer ergibt zusammengefasst
$(x-7)^2=x^2-14x+49$
Wenn du die Binomische Formel beherrschst, verwendest du diese idealerweise.
Es können 2 Methoden verwendet werden, um die Aufgabe zu lösen.
Du kannst die binomische Formel anwenden.
Oder du kannst die Klammern ausmultiplizieren.

Peter hat für die Gleichung $3\cdot(x+4) = −9x+6 \mathbb{(G = Q)}$ die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \lbrace −0{,}5\rbrace$ ermittelt.

Überprüfe durch Rechnung, ob Peters Lösung richtig ist.

Richtig
Falsch

Ergänze die Leerstelle so, dass äquivalente Terme entstehen $\mathbb{G = Q}$ .

$0{,}5x^{2}+2x − 0{,}5 = 0{,}5(x^{2}. . .− 1)$

5
Für ein Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse AC gilt (vgl. Skizze):
A(1| −2); B(8|1); C(7|4); D(4|5).
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts M der Diagonalen.
Trenne die Zahlen mit einem kleinen L ( l )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen des Drachenvieecks.
Die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen sind (6|3).
6
Ordne zutreffende Eigenschaften durch Auswählen.
1. Jedes Drachenviereck ist …
  … achsensymmetrisch.
  … punktsymmetrisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Für diese Aufgabe musst du die Eigenschaften des Drachenvierecksbeherrschen.
  Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch.
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2. Jedes gleichschenklige Trapez ist …
  … achsensymmetrisch.
  … punktsymmetrisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Trapez
  Für diese Aufgabe musst du die Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes beherrschen.
  Jedes gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der beiden parallelen Seiten.
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3. Jede Raute ist …
  … achsensymmetrisch.
  … punktsymmetrisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
  Für diese Aufgabe musst du die Eigenschaften einer Raute kennen.
  Jede Raute ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.
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7
Im Parallelogramm ABCD beträgt der Abstand der beiden Seiten [AB] und [CD] 3 cm. Ergänze die Zeichnung zum Parallelogramm ABCD, wenn $\beta$ = 60° gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
8
Konstruiere das Dreieck ABC mit , AC = 4 cm $\alpha$ = 20° und $\gamma$ = 100°.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruieren von Dreiecken
9
Der Wert einer Aktie nahm von Anfang Januar bis Ende Mai zunächst von 70 € auf 63 € ab. Bis Ende Dezember reduzierte er sich weiter, diesmal um 5%, bezogen auf den Wert Ende Mai. Welche Aussage trifft für den Wert der Aktie zu? Kreuze an.
Der Wert nahm im gesamten Jahr von Anfang Januar bis Ende Dezember insgesamt …
… um weniger als 15% ab.
… um mehr als 15% ab.
… um 12 € ab.
… um 15 € ab.
… ab, dabei trifft aber keine der obigen Aussagen zu.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen
Die Aktie verliert von Januar bis Mai $70€-63€=7€$ .
Von Mai bis Dezember verliert die Aktie weitere 5% im Bezug auf den Wert von Mai.
5% von 63€ errechnen sich wie folgt:
$63€\cdot0{,}05=3{,}15€$
Dieser Verlust von Mai bis Dezember entspricht also einem Wert von $3{,}15€$ .
Der Gesamtverlust seit Januar beträgt somit $7€+3{,}15€=10{,}15€$ .
Der Prozentsatz des Verlustes in Höhe von 10,15€ im Bezug auf den Ausgangswert von Januar in Höhe von $70€$ errechnet sich aus
$10{,}15€:0{,}7=14{,}5$
Von Januar bis Dezember nimmt die Aktie also mit 14,5 % weniger als 15 % ab.
10
Bestimme die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der folgenden Bruchgleichung.
$\frac1x=\frac3{x+3}$ $\mathbb{G=Q}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Bruchgleichungen
1. Definitionsmenge
Wenn du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen willst, musst du dir die Frage stellen, für welche Werte von $x$ eine $0$ im Nenner eines Bruches stehen würde.
Du kannst also jeden Bruch, bei dem ein $x$ im Nenner vorkommt, nacheinander anschauen und dich dabei jedesmal fragen, für welchen Wert von $\mathbf{x}$ der Nenner $\mathbf{0}$ sein würde. Diese Werte musst du aus der Definitionsmenge ausschließen.
Erster Bruch: $\frac{1}{x}$
Der Nenner dieses Bruches ist $x$ . Das heißt, der Nenner wird $0$ , wenn $x = 0$ ist.
Zweiter Bruch: $\frac{3}{x + 3}$
Der Nenner dieses Bruches ist $x + 3$ . Der Nenner wird also $0$ , wenn $x + 3 = 0$ ist. Diese Gleichung kannst du nach x auflösen:
Der Nenner dieses Bruches wird also $0$ , wenn $x = -3$ ist.
Definitionsmenge aufschreiben
Jetzt hast du alle Brüche behandelt und kannst die Definitionsmenge aufschreiben:
2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren
Jetzt kannst du beginnen, die Gleichung zu lösen. Dazu multiplizierst du die Gleichung mit dem Hauptnenner. Dieser ist: $x\cdot (x + 3)$ .
3. Gleichung auflösen
Nun kannst du die Bruchterme auf beiden Seiten kürzen und die Gleichung nach x auflösen:
4. Lösungsmenge
Du bist fast fertig. Mit den Berechnungen oben hast du folgendes herausgefunden: Wenn du die Bruchgleichung nach $x$ auflöst, kommt $x = 1{,}5$ raus. Nun musst du noch überprüfen, ob $1{,}5$ in der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \lbrace -3; 0 \rbrace$ der Gleichung liegt.
Und tatsächlich: In der Definitionsmenge sind nur die $-3$ und die $0$ ausgeschlossen. Alle anderen rationalen Zahlen liegen innerhalb der Definitionsmenge - also auch die $1{,}5$ . Daher ist die Lösungsmenge der Gleichung:
Jetzt bist du fertig!
Du kannst hier so vorgehen:
Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung.
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner.
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
Schreibe die Lösungsmenge auf.
11
In Michaels Obstsalat sind Bananen, Äpfel und Birnen. Er enthält viermal so viele Äpfel wie Birnen und halb so viele Bananen wie Äpfel. Kreuze die richtigen Aussagen an. Im Obstsalat sind …
… mehr Äpfel als Bananen.
… mehr Äpfel als Birnen und Bananen zusammen.
… weniger Bananen als Birnen.
… Äpfel, Birnen und Bananen, aber keine der obigen Aussagen ist richtig.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Michaels Obstsalat enthält Bananen, Äpfel und Birnen.
x bezeichnet die Anzahl der Birnen.
y bezeichnet die Anzahl der Äpfel.
z bezeichnet die Anzahl der Bananen.
Der Obstsalat enthält $x$ Birnen.
Der Obstsalat enthält viermal so viele Äpfel wie Birnen. $y=4x$ .
Der Obstsalat enthält halb so viele Bananen wie Äpfel. $z=y:2=4x:2=2x$
Die folgenden beiden Aussagen sind richtig.
Der Obstsalat enthält mehr Äpfel $4x$ als Bananen $2x$ .
Der Obstsalat enthält mehr Äpfel $4x$ als Birnen und Bananen zusammen $3x$ .
(Die Summe der Birnen und Bananen ergibt sich aus $x+z=x+2x=3x$ )

Fasse so weit wie möglich zusammen $\mathbb{G = Q}.$

$7a^{2}-(3a-4a^{2})+2a=$

13
Elfi stapelt fünf Schulbücher - das Mathematikbuch, das Chemiebuch, das Erdkundebuch und zwei Deutschbücher - in zufälliger Reihenfolge übereinander auf ihren Schreibtisch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Mathematikbuch ganz oben liegt?
Ergebnis ohne Prozentzeichen!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
5 Bücher werden in zufälliger Reihenfolge übereinander gestapelt.
W: Prozentwert G: Grundwert p: Prozentsatz
$P=\frac WG$
$P=\frac15=0{,}20$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Mathebuch oben liegt, beträgt 20%.
14
Ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit ist, hat einen Umfang von 24 cm.Welchen Flächeninhalt A hat das Rechteck? Wähle aus.
A = 32 cm²
A = 128 cm²
A = 24 cm²
A = 36 cm²
A = 48 cm²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks
Gegeben: Ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit ist, hat einen Umfang von 24cm.
Gesucht: Der Flächeninhalt des Rechtecks.
Der Umfang eines Rechtecks ergibt sich aus der Summe von 2 x Länge und 2 x Breite.
Bezeichnung:
x bezeichnet die Breite des Rechtecks
2x bezeichnet die Länge des Rechtecks
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2\cdot x+2\cdot2x=24\\6x=24\\x=4\end{array}$
Die Breite des Rechtecks beträgt also 4cm, die Länge 8cm.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt von Länge und Breite.
$4cm\cdot8cm=32cm²$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $32cm²$ .
15
Die Abbildung zeigt eine maßstabsgetreue Skizze eines Schiffskanals mit den Brücken A und B. Die Schleusen 1 und 2 dieses Kanals sind 16 km voneinander entfernt.
Ein Vergnügungsdampfer fährt im Kanal mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 12 km pro Stunde.Wie lange benötigt der Dampfer von der Brücke A bis zur Brücke B?
Gib deinen Lösungsweg an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit
Der Weg $(s)$ und die Geschwindigkeit $(v)$ sind bekannt:
$s\ =\ 6\ km;\qquad$ $v\ =\ 12\dfrac{km}{h}$
Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit lautet:
$v\ =\ \dfrac{s}{t}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{s}{v}$
$t\ =\ \dfrac{6\ km}{{12}\dfrac{km}{h}}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{6\ km\cdot{h}}{12\ km}$
$t\ =\ 0{,}5\ h$
Der Dampfer benötigt $0{,}5$ Stunden von Brücke $A$ zu Brücke $B$ .
16
Welchen der vorgegebenen Werte hat der Term $\frac{0{,}5\cdot10\cdot20{,}1}{99}$ ungefähr? Schätze ab und wähle aus.
1
0,1
0,01
10
100
Schätze den Wert des Terms $\frac{0{,}5\cdot10\cdot20{,}1}{99}$ ab.
Berechne den Zähler:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}0{,}5\cdot10=5\\5\cdot20=100\end{array}$
$\frac{100}{99}\approx1$
Der Term hat ungefähr den Wert $1$ .
17
Sechs Pumpen mit gleicher Leistungsfähigkeit benötigen zum Leerpumpen eines Schwimmbeckens 10 Stunden. Nach fünf Stunden fallen drei Pumpen aus.
Wie lange benötigen die drei verbleibenden Pumpen jetzt noch, um das Becken leer zu pumpen?

$6$ Pumpen benötigen bei gleicher Leistungsfähigkeit $10$ Stunden um ein Becken leer zu pumpen.
Halb so viele Pumpen ( $3$ Stück) schaffen es in der gleichen Zeit ( $10$ Stunden) das halbe Becken leer zu pumpen.
Nach $5$ Stunden ist das Becken bereits halb leer.
Nach 5 Stunden benötigen die verbleibenden 3 Pumpen noch 10 Stunden, um das noch halb gefüllte Becken leer zu pumpen.
18
Kreuze den quadratischen Term T(x) an, für den gilt: $T_{max} = −5$ für $x = −3 \mathbb({G = Q}).$
$T(x) = −(x+3)^{2}−5$
$T(x) = (x+3)^{2}−5$
$T(x) = −﴾x−3﴿^{2}−5$
$T(x) = ﴾ x−5﴿^{2}−3$
$T(x) = −(x−5)^{2}−3$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
$T(x)=-(x+3)^2-5$
$x=-3$
Setze $-3$ für $x$ in den Term ein.
$T(-3)=-(-3+3)^2-5$
$T(-3)=-5$
Die Scheitelform der Parabel lautet
$f(x)=a(x-d)^2+e$
Vergleiche den Term $T(x)$ mit der Scheitelform.
$a=-1$ .
Das heißt, die Parabel ist nach unten geöffnet und
$T(-3)=-5$ ist ein Maximum.
Für den Term $T(x)=-(x+3)^2-5$ gilt
$Tmax=-5$ für $x=-3$
19
Herr Schulz benötigt normalerweise täglich eine Stunde mit dem Auto zu seiner Arbeitsstelle.Wegen einer Baustelle braucht er derzeit 15% mehr Fahrzeit.
Wie viele Minuten ist Herr Schulz dadurch länger mit dem Auto unterwegs?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnung von Zeiteinheiten
1 Stunde entspricht 60 Minuten.
60 Minuten entsprechen 100%.
15% von 60 Minuten entsprechen $60\cdot0{,}15=9\;$ Minuten.
Herr Schulz ist durch die Baustelle $9$ Minuten länger unterwegs.
20
Ermittle das Winkelmaß $\beta$ , wenn g || h gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel in Figuren
Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\alpha+2\cdot\alpha=180^\circ\\\alpha=60^\circ\\\end{array}$
Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt $180^\circ$ .
$\alpha$ ist ein Stufenwinkel und es gilt
$\beta+\alpha+90^\circ=180^\circ$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\beta+60^\circ+90^\circ=180^\circ\\\beta=30^\circ\end{array}$
Das Winkelmaß $\beta$ ist $30^\circ$ .
21
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC gilt (s. Skizze) AC = BC. Ist es möglich, dass für dieses Dreieck zusätzlich gilt: $\alpha$ = 50° und $\gamma$ = 70°?
Begründe deine Antwort ausführlich.
Ja das ist möglich.
Nein das ist nicht möglich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Es müsste $\beta$ = 50° gelten, damit wäre aber $\alpha+\beta+\gamma$ ≠ 180°. => Es kann dieses Dreieck nicht geben.
22
Welcher der Pfeile markiert den richtigen Wasserstand, wenn der abgebildete Wasserbehälter 224 cm³ Wasser enthält?
Gib den passenden Buchstaben an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
$V=l\cdot b\cdot h$
Der untere Quader, der durch den Buchstaben D begrenzt wird, hat ein Volumen von
$V=10cm\cdot4cm\cdot5cm=200cm^3$
Gesucht ist die Höhe des oberen Quaders mit einem Volumen von
$224cm^3-200cm^3=24cm^3$
Bekannt ist die Länge, Breite und das Volumen die Quaders.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}24cm^3=2cm\cdot4cm\cdot h\end{array}$
$h=24cm^3:8cm^2=3cm$
Der Buchstabe $B$ ist 3 cm von dem Buchstaben D entfernt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3(x+4)=$	$=$	$\displaystyle -9x+6$
	↓	Multipliziere zunächst die Klammer aus.
$\displaystyle 3x+12$	$=$	$\displaystyle -9x+6$	$\displaystyle +9x$
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}5$

$\displaystyle 0{,}5x^2+2x-0{,}5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5(x^2\dots-1)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle 0{,}5x^2+2x-0{,}5$	$=$	$\displaystyle o,5x^2...-0{,}5$
	↓	Ergänze auf der rechten Gleichungsseite $+2x$
$\displaystyle 0{,}5x^2+2x-0{,}5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2+2x-0{,}5=0{,}5(x^2+4x-1)$
	↓	Du erhältst nun diese äquivalenten Terme

	$\displaystyle 7a^2-\left(3a-4a^2\right)+2a$
	↓ Klammer auflösen. Da ein negatives Vorzeichen vor der Klammer steht, dreht sich das Vorzeichen der Faktoren in der Klammer um
$=$	$\displaystyle 7a^2-3a+4a^2+2a$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle 11a^2-a$

2017

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1. Definitionsmenge

Erster Bruch: 1x\frac{1}{x}x1​

Zweiter Bruch: 3x+3\frac{3}{x + 3}x+33​

Definitionsmenge aufschreiben

2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren

3. Gleichung auflösen

4. Lösungsmenge

Erster Bruch: $\frac{1}{x}$

Zweiter Bruch: $\frac{3}{x + 3}$