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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:x↩2(x+1)2x2−1\displaystyle g: x\mapsto \frac{2(x+1)^2}{x^2-1} mit der maximalen Definitionsmenge Dg⊂RD_g\subset \mathbb{R}.

    1. Geben Sie DgD_g an, prĂŒfen Sie gg auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der DefinitionslĂŒcken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei AnnĂ€herung an die DefinitionslĂŒcken. (7 BE)

    2. Die Funktion f:x↩2(x+1)x−1\displaystyle f: x \mapsto \frac{2(x+1)}{x-1} mit Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\} ist die stetige Fortsetzung der Funktion gg (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit GfG_f bezeichnet.

    3. Geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von GfG_f an und untersuchen Sie, ob sich der Graph der Funktion ff fĂŒr x→+∞x \to +\infty der Asymptote von oben oder unten nĂ€hert. (5 BE)

    4. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von f und geben Sie die Wertemenge von f an. (4 BE)

      [mošgliches Teilergebnis:fâ€Č(x)=−4(x−1)2]\left[ \text{mögliches Teilergebnis:} f'(x)=\displaystyle -\frac{4}{(x-1)^2}\right]

    5. Zeichnen Sie GfG_f und seine Asymptoten unter BerĂŒcksichtigung der bisherigen Ergebnisse fĂŒr −4≀x≀6-4\leq x\leq6 in ein kartesisches Koordinatensystem. (4 BE)

    6. Der Graph GfG_f, die yy-Achse und die Geraden y=2y = 2 und x=ax = a mit dem reellen Parameter a<–1a < –1 begrenzen ein FlĂ€chenstĂŒck A. Kennzeichnen Sie diese FlĂ€che fĂŒr a=–3a = –3 im Koordinatensystem von Teilaufgabe e) und berechnen Sie deren FlĂ€chenmaßzahl A(a)A(a) in AbhĂ€ngigkeit von aa. (5 BE)

      [mögliches Ergebnis: A(a)=4ln⁥(1−a)A(a)=4\ln(1-a) ]

    7. Untersuchen Sie, ob A(a)A(a) fĂŒr a↩−∞a\mapsto -\infty einen endlichen Wert annimmt. (2 BE)

    8. Die Funktion FF ist eine Stammfunktion der Funktion f.f. Geben Sie nur mit den bisherigen Ergebnissen die maximalen Monotonieintervalle des Graphen der Funktion FF fĂŒr x<1x < 1 an.

  2. 2

    Die Funktion nn beschreibt nĂ€herungsweise die zeitliche Entwicklung der Einwohnerzahl einer frĂ€nkischen Kleinstadt. Es gilt hierfĂŒr die Funktionsgleichung n(t)=b(−e−0,05t+e−0,25t+1,5)n(t)=b(-e^{-0{,}05t}+e^{-0{,}25t}+1{,}5) mit t≄0t\geq0, b∈Rb\in \mathbb{R}.

    Der Zeitpunkt t=0t = 0 wird auf den 1.1.1995 festgelegt. Dabei gibt n die Einwohnerzahl in Tausend und tt die Zeit in Jahren an. Auf Einheiten soll bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.

    1. Am 1.1.1999 hatte die Stadt 2098320983 Einwohner. Bestimmen Sie damit den Wert des Parameters b. (2 BE)

      [ Ergebnis: b≈20b \approx 20]


    2. Berechnen Sie Art und Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion n und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im gegebenen Sachzusammenhang. (7 BE)

      [ mögliches Teilergebnis: n˙(t)=e−0,05t−5e−0,25t\dot{n}(t)=e^{-0{,}05t}-5e^{-0{,}25t}]

    3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion n in ein geeignetes Koordinatensystem.

    4. Zum 1.1.2010 konnte die Stadt Fördergelder beantragen. Diese richteten sich nach der durchschnittlichen Einwohnerzahl der Stadt wĂ€hrend der vergangenen 15 Jahre. Ermitteln Sie die Höhe der Fördermittel, wenn es pro durchschnittlichem Einwohner 500 €500\ € an Fördergeldern gab, indem Sie zunĂ€chst das Integral I=∫015n(t)dtI=\int_{0}^{15}n(t)dt berechnen. (5 BE)

      [Teilergebnis: I≈317I\approx 317]

  3. 3

    Die subjektive Empfindung der Tonhöhe Z des menschlichen Gehörs in AbhÀngigkeit von der Frequenz xx in Hertz (HzHz) kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

    Die Einheit der Tonhöhe ZZ ist 1 mel1\ mel. Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. Auf das MitfĂŒhren von Einheiten kann verzichtet werden.

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion ZZ an der Nahtstelle x=427x = 427 - im Rahmen der Rundungsgenauigkeit - stetig und differenzierbar ist. (5 BE)

    2. Berechnen Sie die Frequenz xx, bei der die Tonhöhe von 1400 mel1400\ mel empfunden wird. (3 BE)


    3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion ZZ im Bereich 0<x≀22000< x \leq 2200. (4 BE).

      (Maßstab: waagrechte Achse: 1 cm1\ cm =^\widehat{=} 200 Hz200\ Hz; senkrechte Achse: 1 cm1\ cm =^\widehat{=} 200 mel200\ mel)


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