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10Kreuzprodukt

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt aus zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ergibt einen neuen Vektor w\vec{w}, der gleichzeitig senkrecht auf den Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} steht.

a×b=(a1a2a3)×(b1b2b3)=(a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1)=w\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \vec{w}

Der Betrag des berechneten Vektors w|\vec{w}| entspricht dem Flächeninhalt des von a\vec{a} und b\vec{b} aufgespannten Parallelogramms.

Achtung: Das Kreuzprodukt gibt es nur für 3-dimensionale Vektoren! Denn im 2-dimensionalen gibt es keinen Vektor, der senkrecht zu zwei anderen verschiedenen Vektoren stehen kann.

Beispiel

(123)×(234)=(243(3)32141(3)22)=(1727)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot4-3\cdot(-3) \\ 3\cdot2-1\cdot4 \\ 1\cdot(-3)-2\cdot2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}


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