9Skalarprodukt

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl s, einen sogenannten Skalar. Berechnet wird das Skalarprodukt, indem man komponentenweise multipliziert und anschließend addiert:

$\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = s$

Man kann das Skalarprodukt aber auch unter Verwendung des Winkels $\alpha$, welcher zwischen den beiden Vektoren$\vec{v}$ und $\vec{w}$ liegt, berechnen:

Wenn der Winkel $\alpha = 90^\circ$ ist und somit die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind, dann ergibt das Skalarprodukt 0:

Willst du also überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, berechnest du das Skalarprodukt.

Beispiel

Wir wollen überprüfen ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel 1

$\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

$\vec{a} \circ \vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=3 \cdot 2+(-4) \cdot 3+1 \cdot 6=6-12+6=0$

Das Skalarprodukt ist gleich $0$, also stehen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander.

Beispiel 2

$\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{d}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

$\vec{c} \circ \vec{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}=1\cdot(-2)+3\cdot5+3\cdot4=-2+15+12=25$

Das Skalarprodukt ist 25 und somit stehen die Vektoren nicht senkrecht aufeinander.