Kursübersicht ▾ 9 Skalarprodukt
Skalarprodukt Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b s , einen sogenannten Skalar . Berechnet wird das Skalarprodukt , indem man komponentenweise multipliziert und anschließend addiert:
a ⃗ ∘ b ⃗ = ( a 1 a 2 a 3 ) ∘ ( b 1 b 2 b 3 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = s \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = s a ∘ b = a 1 a 2 a 3 ∘ b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = s
Man kann das Skalarprodukt aber auch unter Verwendung des Winkels α \alpha α v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w
v ⃗ ∘ w ⃗ = ∣ v ⃗ ∣ ⋅ ∣ w ⃗ ∣ ⋅ cos α \displaystyle \vec{v} \circ \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos{\alpha} v ∘ w = ∣ v ∣ ⋅ ∣ w ∣ ⋅ cos α Wenn der Winkel α = 9 0 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘ senkrecht zueinander sind, dann ergibt das Skalarprodukt 0 :
v ⃗ ∘ w ⃗ = ∣ v ⃗ ∣ ⋅ ∣ w ⃗ ∣ ⋅ cos 9 0 ∘ = ∣ v ⃗ ∣ ⋅ ∣ w ⃗ ∣ ⋅ 0 = 0 \displaystyle \vec{v} \circ \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos{90^\circ} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot 0 = 0 v ∘ w = ∣ v ∣ ⋅ ∣ w ∣ ⋅ cos 9 0 ∘ = ∣ v ∣ ⋅ ∣ w ∣ ⋅ 0 = 0
Willst du also überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, berechnest du das Skalarprodukt.
Beispiel Wir wollen überprüfen ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Beispiel 1
a ⃗ = ( 3 − 4 1 ) \vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} a = 3 − 4 1 b ⃗ = ( 2 3 6 ) \vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} b = 2 3 6
Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
a ⃗ ∘ b ⃗ = ( 3 − 4 1 ) ∘ ( 2 3 6 ) = 3 ⋅ 2 + ( − 4 ) ⋅ 3 + 1 ⋅ 6 = 6 − 12 + 6 = 0 \vec{a} \circ \vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=3 \cdot 2+(-4) \cdot 3+1 \cdot 6=6-12+6=0 a ∘ b = 3 − 4 1 ∘ 2 3 6 = 3 ⋅ 2 + ( − 4 ) ⋅ 3 + 1 ⋅ 6 = 6 − 12 + 6 = 0
Das Skalarprodukt ist gleich 0 0 0 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b
Beispiel 2
c ⃗ = ( 1 3 4 ) \vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} c = 1 3 4 d ⃗ = ( − 2 5 3 ) \vec{d}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} d = − 2 5 3
Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
c ⃗ ∘ d ⃗ = ( 1 3 4 ) ∘ ( − 2 5 3 ) = 1 ⋅ ( − 2 ) + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 = − 2 + 15 + 12 = 25 \vec{c} \circ \vec{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}=1\cdot(-2)+3\cdot5+3\cdot4=-2+15+12=25 c ∘ d = 1 3 4 ∘ − 2 5 3 = 1 ⋅ ( − 2 ) + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 = − 2 + 15 + 12 = 25
Das Skalarprodukt ist 25 und somit stehen die Vektoren nicht senkrecht aufeinander.
10 Kreuzprodukt
