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Abiturkurs Geometrie

10Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt aus zwei Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} ergibt einen neuen Vektor w⃗\vec{w}, der gleichzeitig senkrecht auf den Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} steht.

a⃗×b⃗=(a1a2a3)×(b1b2b3)=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)=w⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \vec{w}

Kreuzprodukt

Der Betrag des berechneten Vektors ∣w⃗∣|\vec{w}| entspricht dem Flächeninhalt des von a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} aufgespannten Parallelogramms.

Achtung: Das Kreuzprodukt gibt es nur für 3-dimensionale Vektoren! Denn im 2-dimensionalen gibt es keinen Vektor, der senkrecht zu zwei anderen verschiedenen Vektoren stehen kann.

Beispiel

(123)×(2−34)=(2⋅4−3⋅(−3)3⋅2−1⋅41⋅(−3)−2⋅2)=(172−7)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot4-3\cdot(-3) \\ 3\cdot2-1\cdot4 \\ 1\cdot(-3)-2\cdot2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}


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