Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma ABCDEF mit $A (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (8 ∣ 0 ∣ 0)$ , $C (0 ∣ 8 ∣ 0)$ und $D (0 ∣ 0 ∣ 4)$

a) Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte B und F. (2 BE)

b) Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten $[A D]$ bzw. $[B C]$ . Der Punkt $K (0 ∣ y_{K} ∣ 4)$ liegt auf der Kante $[D F]$ . Bestimmen Sie $y_{K}$ so, dass das Dreieck KMP in M rechtwinklig ist. (3 BE)

Teilaufgabe a)

Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte ist der Betrag des Differenzvektors zu berechnen - Stichwort: Pythagoras!

$\displaystyle d\left(B,F\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\overrightarrow{BF}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\vec{f}-\vec{b}\right\|$

Spätestens jetzt müssen die Koordinaten von $F$ geklärt werden: Da es sich um eine gerades Prisma handelt, befindet sich der Punkt $F$ 4 Längeneinheiten in $x_{3}$ -Richtung über Punkt $C$ , daher sind die Koordinaten von $F$ : $(0 ∣ 8 ∣ 4)$ .

$\displaystyle d\left(B,F\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(-8)^2+8^2+4^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{144}$
	$=$	$\displaystyle 12$

Teilaufgabe b)

Rechtwinkligkeit zwischen zwei Vektoren, weist man am einfachsten nach, in dem man zeigt, dass das entsprechende Skalarprodukt den Wert 0 hat!

Die beiden Schenkel $\overrightarrow{MK}$ und $\overrightarrow{MP}$ werden wie schon in Teilaufgabe a) als Differenvektoren berechnet. Somit ist nun also der Ansatz:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\y_k\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4y_k-4$
$\displaystyle y_k$	$=$	$\displaystyle 1$

Wenn der Punkt $K$ die Koordinaten $(0 ∣ 1 ∣ 4)$ hat, hat das Dreieck $K M P$ bei $M$ einen rechten Winkel!

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