Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.

Volumenformel: $\mathrm V=\mathrm G\cdot\mathrm h$ (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. ${\mathrm G}_\mathrm{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch ${\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=A_{Mantel}+A_{Kreis}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

1. Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. ${\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

2. Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel $\mathrm V={\mathrm G}_\mathrm{Kreis}\cdot\mathrm h=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h$ nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung $h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}$ . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: $\mathrm A=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot{\textstyle\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi}}\right)}+r^2\cdot\mathrm\pi=2\cdot\frac Vr+r^2\cdot\mathrm\pi=2V\cdot\frac1r+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$ . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben $\mathrm A(\mathrm r)=2\mathrm V\cdot\frac1{\mathrm r}+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$ .

3. Für die Extremalfunktion $\mathrm A(\mathrm r)$ den Definitionsbereich $\mathbb{D}_\mathrm A$ bestimmen: $\mathbb {D}_A=\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Allerdings muss r > 0 sein.

4.  Wir suchen das Minimum von $\mathrm A(\mathrm r)$ mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung.

Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Setze also $A'\left(r\right)=2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\pi\cdot2r$ gleich $0$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}A'(r)&=&0\\2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0\\-\frac{2V}{r^2}+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0&|+\frac{2V}{r^2}\\2\pi r&=&\frac{2V}{r^2}&|\cdot r^2\\2\pi r^3&=&2V&|:2\pi\\r^3&=&\frac V\pi&|\sqrt[3]{}\\r&=&\sqrt[3]{\frac V \pi}\end{array}$

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:

Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.

Lösung

Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius $\mathrm{r}_{\min}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi}}}$ . Also ist der Durchmesser $\mathrm d=2\mathrm r=2\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}$ . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung $h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}$ durch einsetzen von $\mathrm{r}_{\min}$ , also 

Der minimale Oberflächeninhalt ist $3\mathrm\pi\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2$ (Einsetzen in die Zielfunktion.)