Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden  g: %%y=-\frac12x+2%%   und  h: %%y=-\frac12x-3%% .

Abstand zweier paralleler Geraden

Der kürzeste Weg zwischen zwei parallelen Geraden ist eine Normale der Geraden .

Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Normale mit den Geraden .

Skizze

Fertige eine Skizze an.

Graph Geraden Parallelen Abstand zwischen den Parallelen

 

Geradengleichung

Stelle die Geradengleichung der Normalen d auf.

Berechne dazu zunächst die Steigung.

%%m_d\cdot m_g=-1%%

%%\left|{:m_g}\right.%%

        %%m_d=\frac{-1}{m_g}%%

Setze die Steigung der Funktion %%m_g%% %%\left(-\frac12\right)%% ein.

        %%m_d=\frac{-1}{-\frac12}%%

Vereinfache die rechte Seite.

        %%m_d=2%%

 

Stelle nun die Geradengleichung auf.

Es wird ein Punkt T, der auf der Geraden liegt benötigt. Verwendet wird der y-Abschnitt von %%h\left(x\right)%% : %%\left(0\vert-3\right)%% .

Setze %%T\left(0\vert -3\right)%% (siehe Skizze) und %%m_d%% in die allgemeine Geradengleichung ein um t zu bestimmen.

%%-3=2\cdot\left(0\right)+t%%

     %%t=-3%%

Setze t und %%m_d%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%y=2x-3%%

 

Bestimme den Schnittpunkt von d und g

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts S.

Normale d: %%y=2x-3%%

Gerade g: %%y=-\frac12x+2%%

Setze die Funktionen gleich.

%%2x-3=-\frac12x+2%%

  %%\left|{+3}\right.%%    %%\left|+\frac12x\right.%%

%%\frac52x=5%%

%%\left|{\cdot\frac25}\right.%%

     %%x=2%%

 

Berechne nun die y-Koordinate des Schnittpunkts S.

%%y=2x-3%%

Setze das gefundene x = 2 ein.

%%y=2\cdot2-3%%

Multipliziere.

%%y=1%%

Gebe die Koordinaten des Schnittpunktes S an.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%S\left(2\vert1\right)%%

 

 

 

Bestimme den Abstand der Punkte S und T.

Bestimme den Abstand in x-Richtung.

  %%T\left(0\vert-3\right)%% , %%S\left(2\vert1\right)%%

Berechne die Differenz der x-Werte von S und T.

%%\operatorname{\Delta}x=2-0=2%%

Bestimme den Abstand in y-Richtung.

%%T\left(0\vert-3\right)%% , %%S\left(2\vert1\right)%%

Berechne die Differenz der y-Werte.

%%\operatorname{\Delta}y=1-(-3)=4%%

 

Bestimme den Abstand in direkter Linie zwischen den Punkten.

%%\operatorname{\Delta}x=2%%

%%\operatorname{\Delta}y=4%%

Wende den Satz des Pythagoras an.

%%d^2=2^2+4^2%%

Potenziere die Werte.

%%d^2=4+16%%

Addiere die Werte.

%%d^2=20%%

Ziehe die Wurzel.

%%d=\sqrt{20}\approx4,47%%

 

Ergebnis

Der Abstand der beiden Geraden beträgt etwa 4,47.