Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle  %%\mathrm x=2%%   angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

Setze die Funktion gleich 0.

        %%0=x^2-4x+6%%

Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.

Berechne zunächst die Diskriminante %%D%%; denn falls %%D < 0%% ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.

%%D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0%%

Damit besitzt %%f%% keine Nullstellen.

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

Setze für x den Wert 2 ein.

%%f\left(2\right)=2^2-4\cdot2+6=4-8+6=2%%

Rechne aus.

 

Graphen zeichnen

 

Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:

1.Möglichkeit: Scheitelform

%%\begin{array}{l}f(x)=x^2-4x+6=x^2-4x+4-4+6=(x-2)^2+2\\\end{array}%%

Also handelt es sich bei %%G_f%% um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel %%S(2|2)%%.

2.Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.

Image Title

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Setze die Funktion gleich 0.

Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.

%%0=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Berechne zunächst die Diskriminante %%D%%; denn falls %%D<0%% ist, gibt es ohnehin keine Lösung.

%%D=1^2-4\cdot\frac12\cdot1\frac12=1-3=-2<0%%   

 

Damit besitzt %%f%% keine Nullstellen.  

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Setze in x den Wert 2 ein.

%%f\left(2\right)=\frac12\cdot2^2+2+1\frac12=2+2+1\frac12=5\frac12%%

Graphen zeichnen

 

Um den Graphen von %%f%% zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.

1.Möglichkeit: Scheitelform

%%\begin{array}{l}f(x)=\frac12x^2+x+1\frac12=\frac12(x^2+2x)+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x^2+2x+1-1)+1\frac12=\frac12\lbrack(x+1)^2-1\rbrack+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x+1)^2+1\end{array}%%

Damit handelt es sich bei %%G_f%% um eine um den Faktor %%\frac12%% gestauchte Normalparabel mit Scheitel %%S(-1|1)%%.

2.Möglichkeit:

Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.

Image Title

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

Funktion gleich 0 setzen.

        %%0=-x^2+5x-4%%

Diskriminante berechnen.

%%D=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=25-16=9>0%%

Daher gibt es zwei Nullstellen.

%%0=-x^2+5x-4%%

In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot\left(-1\right)}%%

%%x_1%% berechnen.

%%x_1=\frac{-5+3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1%%

%%x_2%% berechnen.

%%x_2=\frac{-5-3}{-2}=\frac{-8}{-2}=4%%

 

%%\;\;\Rightarrow%%   die Nullstellen sind 1 und 4

 

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

In x 2 einsetzen.

%%f\left(2\right)=-2^2+5\cdot2-4=-4+10-4=2%%

Graphen zeichnen

 

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