Berechne die Tangente an die Funktion  %%f(x)=x^2-18x+85%%  durch den Punkt  %%B(9\vert y)%%

Ohne Ableitung

%%f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)%%

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

%%x^2-18x+85=mx+t%%

Bringe alles auf eine Seite

%%x^2-(18+m)x+85-t=0%%

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

%%D=(18+m)^2-4\cdot1\cdot(85-t)=m^2+36m-16+4t=0%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=9^2-18\cdot9+85=4%%

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

%%4=9m+t%%

Löse nach auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

%%m^2+36m-16+4(4-9m)=m^2=0%%

Löse nach m auf und setze in t ein

%%m=0\Rightarrow t=4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=4%%

 

Mit Ableitung

%%f(x)=x^2-18x+85,\;B(9\vert y)%%

Berechne die Ableitung der Parabel.

%%f`(x)=2x-18%%

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m 

%%f`(9)=2\cdot9-18=0=m%%

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

%%y=9^2-18\cdot9+85=4%%

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

%%4=0\cdot2+t\Rightarrow t=4%%

Stelle die Tangentengleichung auf 

%%t_B(x)=4%%