Sei die Funktion %%f: x\mapsto (x+1)^3-1%% gegeben. Bestimme die Fläche, die von %%f%% und ihrer Umkehrfunktion %%f^{-1}%% eingeschlossen wird.

Umkehrfunktion

Die Funktion %%f%% ist dort umkehrbar, wo sie streng monoton ist. Überprüfe die Monotonie mit der Ableitung.

%%\displaystyle f'(x)=3(x+1)^2 \gt 0%%

%%f'%% ist immer größer als null. Deshalb ist %%f%% im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

%%\displaystyle \begin{align} y &= (x+1)^3-1\\ y+1 &= (x+1)^3 \\ \sqrt[3]{y+1} &=x+1\\ \sqrt[3]{y+1}-1 &= x\\ \Rightarrow f^{-1}(x)&=\sqrt[3]{x+1}-1 \end{align}%%

Da die dritte Wurzel nur auf %%\mathbb{R}_0^+%% definiert ist, hast du für den Definitionsbereich von %%f^{-1}: \mathbb{D}_{f^{-1}}= [-1;\infty[%%.

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} (x+1)^3-1&=&\sqrt[3]{x+1}-1 &|+1 \\ (x+1)^3&=&\sqrt[3]{x+1} &|^3 \\ \text{Sei } x\neq -1:\\ (x+1)^9 &=& x+1 &|:(x+1) \\ (x+1)^8 &=& 1 &|\sqrt[8]{} \\ x+1 &=& \pm 1 &|-1\\ x_1 &=& 0\\ x_2 &=& -2 \end{array}%%

Betrachte den Fall %%x=-1%%:

%%\displaystyle\begin{array}{rcll} (-1+1)^3-1&=&\sqrt[3]{-1+1}-1 \\ 0 &=& 0\\ x_3 &=&-1 \end{array}%%

Berechne jetzt die Fläche %%A%% zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt im kleineren Definitionsbereich.

%%\displaystyle \begin{align} A &= \left|\int_{-1}^{0}f(x)-f^{-1}(x)\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\int_{-1}^{0}(x+1)^3-1-\sqrt[3]{x+1}+1\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\int_{-1}^{0}(x+1)^3-(x+1)^{\frac{1}{3}}\operatorname{d}x \right|\\ &= \left|\left[\frac{1}{4}(x+1)^4-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(x+1)^{\frac{1}{3}+1}\right]_{-1}^{0}\right|\\ &= \left|\frac{1}{4}(0+1)^4-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(0+1)^{\frac{1}{3}+1}-\frac{1}{4}(-1+1)^4+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}(-1+1)^{\frac{1}{3}+1}\right|\\ &= \left| \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right| \\ &= \frac{1}{2} \end{align}%%

Graphen