Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

 

%%f:\;x\mapsto x^2-4x+1%% ;

%%g:\;x\mapsto-x^2+6x-7%% ;    %%D_f=D_g=\mathbb{R}%%

Schnittpunkte berechnen

 

%%f\left(x\right)=x^2-4x+1%%

 

%%g\left(x\right)=-x^2+6x-7%% ;    %%D_f=D_g=ℝ%%

Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.

%%f(x)=g(x)%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%x^2-4x+1=-x^2+6x-7%%

Umformen.

%%2x^2-10x+8=0%%

%%x_{1/2}=\frac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8}}{2\cdot2}%%

 

%%x_{1/2}=\frac{10\pm\sqrt{36}}4=\frac{10\pm6}4%%

 

%%\begin{array}{l}x_1=4\\x_2=1\end{array}%%

%%x_1%% und  %%x_2%%  sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.

 

 

Fläche berechnen

%%A=\int_1^4\left(\left(-x^2+6x-7\right)-\left(x^2-4x+1\right)\right)dx%%

'obere minus untere' Funktion.

(Einfach Punkt zwischen den Schnittpunkten auswählen, in beide Funktionen einsetzen und somit ermitteln, welcher Wert größer ist.)

%%=\int_1^4\left(-x^2+6x-7-x^2+4x-1\right)dx%%

Man löst die Klammern auf und fasst die Terme zusammen.

%%=\int_1^4\left(-2x^2+10x-8\right)dx%%

Integration des Integranden.

%%=\left[-\frac23x^3+\frac{10}2x^2-8x\right]_1^4%%

Nun rechter minus linker Schnittpunkt. Einfach für %%x%% in die integrierte Gleichung einsetzen.

%%=\left(-\frac23\cdot\left(4\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(4\right)^2-8\cdot\left(4\right)\right)-\left(-\frac23\cdot\left(1\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(1\right)^2-8\cdot\left(1\right)\right)%%

%%=\left(-\frac23\cdot64+\frac{10}2\cdot16-32\right)-\left(-\frac23\cdot1+\frac{10}2\cdot1-8\right)%%

%%=-\frac{128}3+48+\frac23+3=9%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.