Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

$f:\;x\mapsto x^2-4x+1$ ;

$g:\;x\mapsto-x^2+6x-7$ ; $D_f=D_g=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=x^2-4x+1$

$g\left(x\right)=-x^2+6x-7$ ; $D_f=D_g=ℝ$

Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g(x)$
$\displaystyle x^2-4x+1$	$=$	$\displaystyle -x^2+6x-7$
	↓	Umformen.
$\displaystyle 2x^2-10x+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1/ 2}$	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8}}{2\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{36}}4$
	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm6}4$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=4\\x_2=1\end{array}$

$x_1$ und $x_2$ sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(\left(-x^2+6x-7\right)-\left(x^2-4x+1\right)\right)dx$
	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(-x^2+6x-7-x^2+4x-1\right)dx$
	↓	Löse auf und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \int_1^4\left(-2x^2+10x-8\right)dx$
	↓	Integriere
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac23x^3+\frac{10}2x^2-8x\right]_1^4$
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\cdot\left(4\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(4\right)^2-8\cdot\left(4\right)\right)-\left(-\frac23\cdot\left(1\right)^3+\frac{10}2\cdot\left(1\right)^2-8\cdot\left(1\right)\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\cdot64+\frac{10}2\cdot16-32\right)-\left(-\frac23\cdot1+\frac{10}2\cdot1-8\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{128}3+48+\frac23+3$
	$=$	$\displaystyle 9$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.

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