Struktur

$$A=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}$$

%%A\in\text{Mat}_{ m\times n}%%   (%%\text{Mat}_{ m\times n}%% bezeichnet die Menge aller %%m \times n%% Matrizen)

%%A%% besteht aus %%m%% Zeilen und %%n%% Spalten.

Besondere Matrizen

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besitzt in der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen. Die Größe hängt von der Dimension der Matrix ab.

Beispiel: %%3 \times 3%% Einheitsmatrix %%\;\;\Rightarrow\;\;{ E}_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}%%

Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr ähnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte müssen aber nicht unbedingt 1 sein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.

Beispiel: %%3 \times 3%% Diagonalmatrix %%\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix} a&0&0\\0& b&0\\0&0& c\end{pmatrix}%%

Multiplikation mit einem Vektor

%%A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix},\;\overrightarrow v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}%%

%%A\cdot\overrightarrow v=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}%%     Analog bei nicht %%3 \times 3%% Matrizen

mit %%A\cdot\overrightarrow{ v}=\overrightarrow{ b}%% und %%\overrightarrow{ b}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}%% %%\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix}{ax}+{by}+{cz}\\{dx}+{ey}+{fz}\\{gx}+{hy}+{iz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{pmatrix}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\left.\begin{array}{c}ax+by+cz=b_1\\dx+ey+fz=b_2\\gx+hy+iz=b_3\end{array}\right.%%

Zugehöriges homogenes Gleichungssystem:   %%A\cdot\overrightarrow{ v}=0%%

Allgemein  

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{n1}\\\vdots&&\vdots\\a_{1m}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}, x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$$

$$A\cdot x=\begin{pmatrix}{ a}_{11}&\cdots&{ a}_{ 1n}\\\vdots&&\vdots\\{ a}_{m1}&\cdots&{ a}_{mn}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{ x}_1\\\vdots\\{ x}_ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ a}_{11}\cdot{ x}_1+\;\cdots\;+{ a}_{ 1n}\cdot{ x}_ n\\\vdots\\{ a}_{m1}\cdot{ x}_1+\;\cdots\;+{ a}_{mn}\cdot{ x}_ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ b}_1\\\vdots\\{ b}_ n\end{pmatrix}$$

  

Hilfestellung:

$$\begin{array}{l}\;\boxed{\begin{array}{ccc}x_1&\cdots&x_n\end{array}}\\\;\;\;\;\begin{array}{cccc}\downarrow&&\downarrow&\end{array}\\\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\end{array}$$

Bei der Mulltiplikation mit einem Vektor wird immer eine Spalter der Matrix mal dem Vektor genommen.

Stellt euch vor, dass der Vektor wie die Zeilen der Matrix Waagrecht, statt Senkrecht liegt und jeweils ein Wert der Matrix Zeile und ein Wert des Vektors mal genommen und dann mit einem Plus verbunden werden.

mit %%b=\begin{pmatrix}{ b}_1\\\vdots\\{ b}_ n\end{pmatrix}%%    %%\Rightarrow\; A\cdot x= b%%     %%\;\;\Rightarrow\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i={ b}_ j%%

zugehöriges homogenes System:  %%\Rightarrow\;\; A\cdot x=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i=0\;%%

Beispiele  

$$A\cdot x=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+2x_2\\3x_1+4x_2\end{pmatrix}$$

$$B\cdot\overrightarrow b=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4+9\\4+10+18\\7+16+27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\32\\50\end{pmatrix}$$

 

Lineares Gleichungssystem

%%\left.\begin{array}{c}ax+by+cz=b_1\\dx+ey+fz=b_2\\gx+hy+iz=b_3\end{array}\right.%%

%%\Rightarrow\;\; A\cdot\overrightarrow{ v}=\begin{pmatrix} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\overrightarrow{ b}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen wird die Erweiterte Koeffizientenmatrix  %%( A \mid b) =\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\left|\begin{array}{c}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{array}\right.\right)%% benötigt, die man dann entsprechend umformt.

Allgemein

$$\left.\begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + \dots + a_{n1} \cdot x_n &= b_1\\ \vdots & \vdots\\ a_{1m} \cdot x_1 + \dots + a_{nm} \cdot x_n &= b_m \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow\left.\begin{pmatrix} a_{11} \cdot x_1 + \dots + a_{n1} \cdot x_n\\ \vdots\\ a_{1m} \cdot x_m + \dots + a_{nm} \cdot x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\ b_m \end{pmatrix}\right.$$

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich immer als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben.

%%A%% nennt man Koeffizientenmatrix vom linearen Gleichungssystem

$$\Rightarrow A\cdot x = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = b$$

Erweiterte Koeffizientenmatrix

$$(A \mid b)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{\mathrm a}_{n1}\\\vdots&&\vdots\\{\mathrm a}_{1m}&\cdots&{\mathrm a}_\mathrm{nm}\end{array}\left|\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_n\end{array}\right.\right)$$

Um dies zu lösen benötigen wir die Erweitererte Koeffizienten Matrix %%(A\mid b)%% .

Falls es mehr Gleichungen als Variablen gibt oder umgekehrt, füllt man diese mit 0.

Beispiel

%%\left.\begin{array}{c}2x+4y-5z=2\\3x-8z+4y=9\\3z-4x+4y=2\end{array}\right.%%

Bei der Umwandlung in eine Erweiterte Koeffizienten Matrix muss man beachten,

dass in der Matrix die Werte vor %%x%%, %%y%% und %%z%% untereinander stehen.

Deshalb ist es von Vorteil anfangs die Gleichungen zu "sortieren".

$$\left.\begin{array}{c}2 x+4 y-5 z=2\\3 x+4 y-8 z=9\\-4 x+4 y+3 z=2\end{array}\right.\Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}2&4&-5\\3&4&-8\\-4&4&3\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\9\\2\end{array}\right.\right)$$

Umformungen

  1. Spalten vertauschen.
  2. Das Vielfache einer Spalte von einer anderen abziehen
  3. Spalte durch einen Faktor teilen (Beachte: Teiler ungleich 0)

Die Erweiterte Koeffizienten Matrix kann durch diese Umformungen auf verschiedene Formen gebracht werden. Zu beachten ist, auch die Koeffizienten  %%{b}_1,\ldots,{b}_m%% mit umzuformen. Die häufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der Gaußalgorithmus , in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, so dass sie folgende Form hat:

%%\left(\begin{array}{ccc}1&a_1&a_2\\0&1&a_3\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{c}b_1'\\b_2'\\b_3'\end{array}\right.\right)%%

Allgemein

%%\left(\begin{array}{cccc}{ a}_{11}&\cdots&\cdots&{ a}_{1n}\\0&\ddots&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&{ a}_{nn}\end{array}\left|\begin{array}{c}{ b}_1\\\vdots\\\vdots\\{ b}_ n\end{array}\right.\right)%%

Wenn man diese Form erreicht hat, führt man entweder die Matrix wieder auf Gleichungen zurück und löst diese dann oder man formt weiter  um, mit der Eigenschaft:

$${ a}_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}1&\mathrm{für}\; i= j\\0&\mathrm{sonst}\end{array}\right.$$

d. h. die Matrix hat in der Diagonale 1 und sonst überall 0.

Rang einer Matrix

Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lässt sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang der Matrix. Besitzt eine  Matrix keine Nullzeile so hat sie vollen Rang.

%%\mathrm A=\begin{pmatrix}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{ a}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\{ a}_{r1}&\cdots&{ a}_{rn}\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix}%%     Rang von %%A = \text{rg}(A) = r%%

 

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Zu article Matrizen:
Bernhard-Strauss 2018-01-17 09:26:54
- Der klassische Merkspruch wäre doch super, wie man sich merken kann wie viele Zeile und Spalten eine Matrix hat (n x m = Zeilen zuerst, Spalten später)

- Man könnte anmerken welche Matrizen man multiplizieren kann, zB (3x2)*(2x1) = (3x1), die beiden inneren Zahlen müssen übereinstimmen, die beiden äußeren zeigen das Ergebnis an...

- Ebenso toll wäre eine Animation oder Beschreibung, dass man gedanklich den Vektor bei der Multiplikation über die Matrix "legt", was vor allem bei höheren Matrix x Matrix Multiplikationen wichtig wird... :-)
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Zu article Matrizen: Einfacherer Erklärung
arekkas 2015-06-20 15:28:04
"A besteht aus m Zeilen und n Spalten." ist zwar als Erkläung einwandfrei, aber es wäre noch einfacher zu verstehen, wenn man das zum Beispiel in einer Grafik (ggf. mit unterschiedlichen Farben) zeigt.

Außerdem scheint der Artikel nicht richtig einsortiert zu sein?
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