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Satz von Vieta

Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit, das Raten von Lösungen einer quadratischen Gleichung zu erleichtern (vor allem, wenn diese ganzzahlig sind).

Er besagt, dass bei einer Gleichung der Form:

die beiden Lösungen x1x_1 und x2x_2 folgende Bedingungen erfüllen:

1.    x1+x2=p{1.\;\;x_1+x_2=-p}

2.    x1x2=q{2.\;\;x_1\cdot x_2=q}

 

Außerdem sind zwei Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, automatisch Lösungen der Gleichung.

Damit beschränkt sich die Suche nach Nullstellen auf Teiler von q, und zur Überprüfung muss man nur noch eine Summe ausrechnen, anstatt jedes Mal Werte in die Gleichung einzusetzen, was man bei sturem Raten machen müsste.

Beweis

Der Satz von Vieta kann man begründen, indem man sich die Linearfaktordarstellung des quadratischen Terms anschaut:

x2+px+q=(xx1)(xx2)x^2+px+q=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)

 

mit x1x_1 und x2x_2 als Nullstellen von x2+px+qx^2+px+q.

Multipliziert man dann die rechte Seite aus, so erhält man:

 

Durch die Nullstellen x1x_1 und x2x_2 ergeben sich pp und qq und damit die Aussage des Satzes.

Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen

Ist eine Gleichung in der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 gegeben, dann kann man aa ausklammern und Vieta auf die Klammer anwenden.

Denn wenn die Klammer 0 ist, dann ist auch a0=0a\cdot0=0 und damit die ganze quadratische Gleichung 0.

 

Vorgehensweise am Beispiel

Zu lösen ist die Gleichung  x2x6=0x^2-x-6=0.

Wir haben also q=6q=-6 und p=(1)=1-p=-\left(-1\right)=1

Nach dem Satz von Vieta muss für die Lösungen x1x2=6x_1\cdot x_2=-6 und x1+x2=1x_1+x_2=1 gelten

Wenn die Lösung ganzzahlig ist, dann gibt es wegen der ersten Bedingung genau folgende Möglichkeiten für die Nullstellen (Vertauschungen sind nicht extra aufgeführt):

x1    x_1\;\;

x2    x_2\;\;

x1+x2x _1+x _2

x1x2x_1\cdot x_2

1

-6

-5

nicht relevant

-1

6

5

nicht relevant

2

-3

-1

nicht relevant

-2

3

1

-6

In der dritten Spalte wird überprüft, ob die Summe der beiden Variablen den gewünschten Wert hat. Das ist bei x1=2x_1=-2 und x2=3x_2=3 der Fall. Stimmt die Gleichung q=x1x2q=x_1\cdot x_2 in der vierten Spalte ebenfalls, hat man die Lösungen gefunden, was man durch Einsetzen noch bestätigen kann:

(2)2(2)6=4+26=03236=936=0\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}(-2) ^2-(-2)-6&=4+2-6=0\\ 3^2-3-6 &= 9-3-6=0 \end{aligned}

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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