Aufgaben

Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}%%

Quadratisches Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}%%

Man wählt die Variable %%w%% und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von %%w%%:

%%\mathrm{kgV}(1;1;5)=5%%

Nun multipliziert man jede der Gleichungen so, dass jedes %%w%% den Koeffizienten 5 hat.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{5\cdot I\to I'}&20u&+&15v&-& 5w&=&10\\ \mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\ \mathrm{5\cdot III\to III'}&-10u&+&10v&+&5w&=&30\end{array}%%

Dann addiert man %%\mathrm{I}'%% und %%\mathrm{II}%% und subtrahiert %%\mathrm{I}'%% von %%\mathrm{III}'%%.

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I'}&20 u&+&15 v&-&5 w&=&10\\ \mathrm{II+I'\to II'}&17u&+&11 v&&&=&5\\ \mathrm{III'-I'\to III''}&-30u&-&5 v&& &=&20\end{array}%%

Man löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus %%\mathrm{II'}%% und %%\mathrm{III''}%% besteht.

Man wählt dazu die Variable %%v%% und bestimmt das kgV ihrer Koeffizienten:

%%\mathrm{kgV}(5;11)=55%%

und multipliziert die Gleichungen entsprechend:

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{5\cdot II'\to II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{11\cdot III''\to III^{(4)}}&-330u&-&55v&=&220 \end{array}%%

Man addiert %%\mathrm{II''}%% und %%\mathrm{III^{(4)}}%%, um %%v%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(4)}+II''\to III^{(5)}}&-245u&&&=&245 \end{array}%%

Nun löst man %%\mathrm{III^{(5)}}%% nach %%u%% auf und setzt seinen Wert in %%\mathrm{II}''%% ein.

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

%%\begin{array}{rccccc} u=-1\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&85\cdot (-1)&+&55v&=&25\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

%%\begin{array}{rccccc} \mathrm{II'''}&&&v&=&2\\ \mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1 \end{array}%%

Nun setzt man die beiden Werte in %%\mathrm{I'}%% ein und löst nach %%w%% auf.

%%\begin{array}{rrcll} u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\ &10-5w&=&10&|-10\\ &-5w&=&0&|:(-5)\\ &w&=&0 \end{array}%%

Insgesamt erhält man die Lösungsmenge

%%L=\{(-1;2;0)\}%%

%%\begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}%%

Quadratisches Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}%%

Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von %%y%% (alternativ: von %%x%% oder %%z%%).

%%\mathrm{kgV}(10;15;30)=30%%

Dann multipliziert man die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von %%y%% 30 sind.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{3\cdot I\to I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\ \mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\ \mathrm{2\cdot III\to III'}&-8 x&+&30 y&-&4z&=&2\end{array}%%

Addiere %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II}%% und subtrahiere %%\mathrm{I'}%% von %%\mathrm{III'}%%, um die Terme mit %%y%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rrcrcrcr} \mathrm{I'}&6 x&+&30 y&-&15 z&=&-3\\ \mathrm{II+I'\to II'}&16 x&&&-&12 z&=&-4\\ \mathrm{III'-I'\to III''}&-14 x&&&+&11z&=&5\end{array}%%

Man löst nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus %%\mathrm{II'}%% und %%\mathrm{III''}%% besteht.

Dafür bestimmt man zunächst das kgV der Koeffizienten von %%z%% und multipliziert dann die Gleichungen so, dass vor dem %%z%% das kgV steht.

%%\mathrm{kgV}(12;11)=132%%

%%\begin{array}{rccccr} \mathrm{11\cdot II'\to II''}&176x&-&132z&=&-44\\ \mathrm{12\cdot III''\to III'''}&-168x&+&132z&=&60 \end{array}%%

Dann addiert man %%\mathrm{III'''}%% und %%\mathrm{II''}%%, um den Term mit %%z%% zu eliminieren.

%%\begin{array}{rccccr} \mathrm{II''}&176x&-&132z&=&-44\\ \mathrm{III'''+II''\to III^{(4)}}&8x&&&=&16 \end{array}%%

Nun löst man %%\mathrm{III^{(4)}}%% nach %%x%% auf und setzt den Wert in %%\mathrm{II''}%% ein.

%%\mathrm{III^{(4)}}\quad x=2%%

%%\begin{array}{rrcrl} x=2\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&176\cdot 2-132z&=&-44\\ &352-132z&=&-44&|-352\\ &-132z&=&-396&|:(-132)\\ &z&=&3 \end{array}%%

Die Werte %%x=2%% und %%z=3%% kann man dann in %%\mathrm{I'}%% einsetzen, um %%y%% zu bestimmen:

%%\begin{array}{rrcrl} \mathrm{I'\to I''}&6\cdot2+30y-15\cdot3&=&-3\\ &-33+30y&=&-3&|+33\\ &30y&=&30&|:30\\ &y&=&1 \end{array}%%

Nun kann man die Lösungsmenge aufschreiben.

%%L=\{(2;1;3)\}%%

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