Aufgaben
Addiere die Vektoren.
(31)+(26)\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

(31)+(26)\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\\\end{pmatrix}\\
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(3+21+6)=(57)=\begin{pmatrix}3+2\\1+6\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\\\end{pmatrix}
u=(31)u=\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}, v=(26)v=\begin{pmatrix}2\\6\\\end{pmatrix}, w=(57)w=\begin{pmatrix}5\\7\\\end{pmatrix} (Lösungsvektor)
Anhand der unten stehenden Skizze erkennt man, dass die Addition kommutativ ist.
Geometrische Anschauung: Addition zweier Vektoren ist kommutativ
(123)+(123)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

(123)+(123)\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}\\
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1+12+23+3)=(246)=\begin{pmatrix}1+1\\2+2\\3+3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\\\end{pmatrix}
(20)+(4,51,5)+(21)\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4,5\\1,5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

(20)+(4,51,5)+(21)\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4,5\\1,5\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\\\end{pmatrix}\\
Addiere die Vektoren komponentenweise.
(2+4,520+1,5+1)=(4,52,5)\begin{pmatrix}2+4,5-2\\0+1,5+1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4,5\\2,5\\\end{pmatrix}
Die roten Vektoren entsprechen dem Vektor (21)\begin{pmatrix}-2\\1\\\end{pmatrix} .
Die orangen Vektoren entsprechen dem Vektor (20)\begin{pmatrix}2\\0\\\end{pmatrix} .
Die grünen Vektoren entsprechen dem Vektor (4,51,5)\begin{pmatrix}4,5\\1,5\\\end{pmatrix} .
Der türkise Vektor ist der Lösungsvektor.
In der untenstehenden Skizze sind alle Möglichkeiten eingezeichnet in welcher Reihenfolge man die Vektoren addieren kann. Mit dem Schieberegler findest du alle Wege mit denen man den Lösungsvektor erreicht.
GeoGebra
(333)+(333)\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-3\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

(333)+(333)\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-3\\3\end{pmatrix}\\
Addiere die Vektoren komponentenweise.
(3+3333+3)=(000)\begin{pmatrix}-3+3\\3-3\\-3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\
Da der erste Vektor das negative des zweiten Vektors ist, addieren sie sich zum Nullvektor.
((481632)+(58107))+((58107)+(61119045))\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

((481632)+(58107))+((58107)+(61119045))\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)\\
Addiere zuerst die Vektoren in den Klammern komponentenweise.
=(4+58+8161032+7)+(5+68+11110+90745)=\begin{pmatrix}4+5\\8+8\\16-10\\32+7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5+6\\-8+111\\10+90\\-7-45\end{pmatrix}\\
=(916639)+(110310052)=\begin{pmatrix}9\\16\\6\\39\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\103\\100\\-52\end{pmatrix}
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1011910613)=\begin{pmatrix}10\\119\\106\\-13\end{pmatrix}
((481632)+(58107))+((58107)+(61119045))\left(\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\right)\\
Durch Umklammern erkennst du, dass der zweite und dritte Vektor sich zu Null addieren.
(481632)+((58107)+(58107))+(61119045)\begin{pmatrix}4\\8\\16\\32\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}5\\8\\-10\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\-8\\10\\-7\end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix}6\\111\\90\\-45\end{pmatrix}\\
Addiere die restlichen Vektoren.
(4+68+11116+903245)=(1011910613)\begin{pmatrix}4+6\\8+111\\16+90\\32-45\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\119\\106\\-13\end{pmatrix}\\
Subtrahiere die Vektoren.
(12)(21)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

(12)(21)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(1221)=(11)=\begin{pmatrix}1-2\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
u=(12),v=(21),w=(11)u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, w=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} (Lösungsvektor)
Geometrische Anschauung: Subtraktion zweier Vektoren
(674491)(101503)\begin{pmatrix}67\\44\\-91\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}101\\50\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

(674491)(101503)\begin{pmatrix}67\\44\\-91\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}101\\50\\3\end{pmatrix}
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(671014450913)=(34694)=\begin{pmatrix}67-101\\44-50\\-91-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-34\\-6\\-94\end{pmatrix}
(57)(43)(12)\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

(57)(43)(12)\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(54(1)732)=(22)=\begin{pmatrix}5-4-(-1)\\7-3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}
u=(57),v=(43),w=(12),a=uv=(14),z=aw=(22)(Lo¨sungsvektor)u=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}, w=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}, a=u-v=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}, \\z=a-w=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\text{(Lösungsvektor)}
Geometrische Anschauung: Subtraktion von Vektoren
((34851)(36672))(311973)\left(\begin{pmatrix}34\\85\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\66\\-72\end{pmatrix}\right)-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

((34851)(36672))(311973)\left(\begin{pmatrix}34\\85\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\66\\-72\end{pmatrix}\right)-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise in der Klammer.
=(34385661(72))(311973)=\begin{pmatrix}34-3\\85-66\\1-(-72)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}31\\19\\73\end{pmatrix}
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(343318566191(72)73)=(000)=\begin{pmatrix}34-3-31\\85-66-19\\1-(-72)-73\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
((51)(33))((22)(21))\left(\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

((51)(33))((22)(21))\left(\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}\right)
Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(531(3))(2(2)2(1))=\begin{pmatrix}5-3\\1-(-3)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2-(-2)\\-2-(-1)\end{pmatrix}
Vereinfache und subtrahiere die Vektoren wieder komponentenweise.
=(24)(41)=(244(1))=(25)=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-4\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}
%%u=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix},v=-\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix},w=u-v=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix},a=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix},b=-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix},\\c=a-b=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix},z=w-c=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\text{(Lösungsvektor)}%%
Geometrische Anschauung: Subtraktion von Vektoren
Addiere die Vektoren:
(23)+(51)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

Um die beiden Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
(23)+(51)=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} =
=(2+53+1)=(74)= \begin{pmatrix} 2+5 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}

Zusatz: Skizze der Vektoren

skizze der Vektoren
(15)+(31)\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

Um die beiden Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
(15)+(31)\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}
=(1+351)=(44)= \begin{pmatrix}1+3\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}

Zusatz: Skizze der Vektoren

Vektoren addieren
(27)+(15)+(43)\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren

Um die drei Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
(27)+(15)+(43)\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}
=(21+47+53)=(19)= \begin{pmatrix}-2-1+4\\7+5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\9\end{pmatrix}

Zusatz: Skizze der Vektoren

Vektoren addieren
Subtrahiere die Vektoren.
(52)(25)\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

Komponentenweise Subtraktion:

(52)(25)=(5225)=(33)\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-2\\2-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}
Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion1
Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten Vektors zeichnest.
Du siehst links auch, dass du den gleichen Vektor erhältst, wenn du die Spitzen der beiden Vektoren verbindest. Bei dieser Methode musst du allerdings aufpassen, in welche Richtung der Lösungsvektor zeigt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

Komponentenweise Subtraktion:

(27)(33)(49)=(23(4)7(3)9)=(31)\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4\\9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3-(-4)\\7-(-3)-9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion
Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten und den Gegenvektor des dritten an die Spitze dieses Vektors zeichnest.
((71)(45))((22)(54))\left(\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix} \right) - \left(\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\-4\end{pmatrix} \right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren

Komponentenweise Subtraktion:

((71)(45))((22)(54))=(741(5))(2(5)2(4))=(3366)=(00)\left(\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix} − \begin{pmatrix}4\\−5\end{pmatrix} \right) − \left( \begin{pmatrix}−2\\2\end{pmatrix} − \begin{pmatrix}−5\\−4\end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix}7-4\\1-(-5)\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2-(-5)\\2-(-4)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3-3\\6-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.

Graphische Subtraktion:

subtraktion3
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