Geben Sie den Term einer in R\mathbb{R} definierten Funktion an, deren Graph im Punkt (21)(2|1) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terrassenpunkte

In einem vorgegebenen Punkt sind beliebig viele Funktionen denkbar, für die dieser Terrassenpunkt ist.
Eine naheliegende Lösungsstrategie ist die Betrachtung einer bekannten Funktion mit beliebigem Terrassenpunkt und anschließende Verschiebung dieses Punktes in den Punkt (21)(2|1).
Terrasenpunkt
Für die Funktion f0:y=x3;  D=Rf_0: y = x^3;\;\mathbb{D}= \mathbb{R} ist der Koordinatenursprung (00)(0|0) Terrassenpunkt.
Die Verschiebung des Graphen von f0f_0 um 2 LE nach rechts und 1 LE nach oben erzeugt eine der gesuchten Funktionen:
f:y=(x2)3+1;  D=Rf:y =(x-2)^3+1;\;\mathbb{D}=\mathbb{R}

Alternative Lösung

Kennst du keine Funktion mit einem Terrassenpunkt, dann überlegst du so:
Damit der Punkt (21)(2|1) Terrassenpunkt einer zu bestimmenden Funktion ff wird, muss die 1. Ableitung   f\;f' für x=2x=2 eine doppelte Nullstelle (allgemeiner eine gerade Nullstelle) besitzen. Ansatz:

f(x)=(x2)2  integrierenf(x)=13(x2)3+c\displaystyle \begin{array}{rcll} f'(x)&=&(x-2)^2&\quad|\;\text{integrieren}\\ \Rightarrow f(x)&=&\frac{1}{3}(x-2)^3+c \end{array}
(21)(2|1) in ff eingesetzt ergibt:

1=13(22)2+cc=1\displaystyle \begin{array}{rcll} 1 &=& \frac{1}{3}(2-2)^2+c\\ c&=&1 \end{array}
Also ist f(x)=13(x2)3+1f(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3+1 eine zweite, auf anderem Wege gefundene Lösung der Aufgabe.
Weitere Lösungen wären z.B. über folgende Ansätze für ff' möglich:
f(x)=a(x2)2,  a0f'(x)=a\cdot(x-2)^2,\; a\neq0 oder auch f(x)=(x+1)(x2)2f'(x)=(x+1)(x-2)^2