Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto 1+7e^{-0{,}2x}$ mit Definitionsbereich $\R^+_0$ ; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen $G_f$ .
a) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ waagrechte Asymptote von $G_f$ ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass $f$ streng monoton abnehmend ist.
Für jeden Wert $s>0$ legen die Punkte $(0|1)$ , $(s|1)$ , $(s| f (s) )$ und $(0|f (s) )$ ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $R(s)$ fest.
b) Zeichnen Sie dieses Rechteck für $s = 5$ in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass $R(s)$ für einen bestimmten Wert von $s$ maximal ist, und geben Sie den Wert von $s$ an.
(zur Kontrolle: $R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}$ )
c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von $G_f$ , der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $y = 1$ und $x=5$ begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu $s = 5$ gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die in $\R^+_0$ definierte Funktion $A: x \mapsto \frac{8}{f(x)}$ beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und $A(x)$ der Flächeninhalt in Quadratmetern.
1. Bestimmen Sie $A(0)$ sowie $\lim\limits_{x \to +\infty} A(x)$ und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion $f$ , der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.
2. Bestimmen Sie denjenigen Wert $x_0$ , für den $A(x_0) = 4$ gilt, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.
  (zur Kontrolle: $x_0 \approx 9{,}7$ )
3. Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.
4. Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch $x_0$ (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von $A$ im Punkt $(x_0| A (x_0) )$ an, die sich daraus folgern lässt, und begründen Sie ihre Angabe.
5. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $A$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2.
6. Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term $A (x)$ die im Exponenten zur Basis e enthaltene Zahl $-0, 2$ durch eine kleinere Zahl ersetzt. Vergleichen Sie den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer
  • hinsichtlich der durch $A (0)$ und $\lim\limits_{x \to +\infty} A(x)$ beschriebenen Eigenschaften (vgl.
  Aufgabe 2a).
  • hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu
  Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).
  Skizzieren Sie – ausgehend von diesem Vergleich – in der Abbildung 2 den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.

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