In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte %%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%% und %%C(3|3|6)%% das gleichseitige Dreieck %%ABC%% fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck %%ABC%% liegt, in Normalform. (4 BE)

Spiegelt man die Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% am Symmetriezentrum %%Z(3|3|3)%%, so erhält man die Punkte %%A'%%, %%B'%% bzw. %%C'%%.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte %%A%%, %%B%% und %%Z%% liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke %%[CC']%% senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)

c) Begründen Sie, dass das Viereck %%ABA' B'%% ein Quadrat mit der Seitenlänge %%3\sqrt 2%% ist. (4 BE)

Der Körper %%ABA'B'CC'%% ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat %%ABA' B'%% als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen %%C%% bzw. %%C'%%.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen %%36\ VE%% besitzt. (2 BE)

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen %%ABC%% und %%AC'B%%. (4 BE)

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.
Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Zwischenschritt: Gib die Ebene in Parameterform an

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%%, %%C(3|3|6)%%

Stelle zwei Richtungsvektoren der Ebene %%E%% auf.

%%\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3-6\\6-3\\3-3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3-6\\3-3\\6-3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}%%

Schreibe (optional) in der Parameterform.

%%E: \overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+ \lambda\cdot \overrightarrow{AB} + \mu\cdot \overrightarrow{AC}%%

%%E: \overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 6\\3\\3\end{pmatrix}+ \lambda\cdot \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}%%

Umrechnen in Normalenform

%%\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix},\ \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}%%

Bilde das Vektorprodukt, um den Normalenvektor zu erhalten.
Kürze soweit wie möglich.

%%\begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9\\9\\9\end{pmatrix}=9\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}%% %%\Rightarrow \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}%%

Setze in die Vektordarstellung der Normalenform ein.

%%E: \overrightarrow{n}\circ \left [\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right ]=0%%

%%\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}\circ \left [ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\3\\3\end{pmatrix}\right ]=0%%

Rechne aus.

%%E:(x_1-6)+(x_2-3)+(x_3-3)=0%%

%%E: x_1+x_2+x_3-12=0%%

Lösung zur Teilaufgabe b)

Lage der Ebene

Hinweis: Du musst zur Beantwortung dieser Frage nicht zwingend die Ebenengleichung aufstellen!

Möglichkeit 1: Über die Koordinaten

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%%, %%Z(3|3|3)%%

Schau dir die %%x_3%%-Koordinaten der drei Punkte an. Sie sind alle identisch, also auf gleicher Höhe! Sie befinden sich alle %%3%% Einheiten über der %%x_1,x_2%%-Ebene.

Die Ebene muss somit parallel zur %%x_1,x_2%%-Ebene mit Abstand %%3%% sein.

Möglichkeit 2: Über den Normalenvektor

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%%, %%Z(3|3|3)%%

Bilde zwei Richtungsvektoren aus den drei Punkten.

%%\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}%% , %%\overrightarrow{AZ}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0\end{pmatrix}%%

Bilde das Vektorprodukt.

%%\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AZ}= \begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}%%

Die %%x_1%%- und %%x_2%%-Koordinate des Normalenvektors sind 0.
Die Ebene erstreckt sich deshalb nicht in %%x_3%%-Richtung.
Sie ist parallel zur %%x_1,x_2%%-Ebene im Abstand %%3%%, da die %%x_3%%-Koordinate bei allen drei Punkten %%3%% lautet.

%%\overline{C'C}%% senkrecht auf der Ebene durch %%ABZ%%

%%\overrightarrow{C'C}%% ist zweimal der Vektor %%\overrightarrow{ZC}% %%, da %%Z%% der Spiegelpunkt ist.

Also kann man statt du zeigen, dass %%\overrightarrow{C'C}%% senkrecht auf der Ebene steht, genauso gut zeigen, dass %%\overrightarrow{ZC}%% senkrecht auf der Ebene steht, da sie beide die gleiche Richtung haben.

Stelle %%\overrightarrow{ZC}%% auf.

%%\overrightarrow{ZC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{Z}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}%%

Vergleiche mit dem Normalenverktor der Ebene, denn dieser steht senkrecht auf %%E%%.

%%-6\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\-6\end{pmatrix}%%

Die Vektoren sind linear abhängig, deshalb steht %%\overrightarrow{CC'}%% senkrecht auf %%E%%.

Lösung zur Teilaufgabe c)

Bestimme %%A'%% und %%B'%%

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3), Z(3|3|3)%%

Bilde die Vektoren %%\overrightarrow{AZ}%% und %%\overrightarrow{BZ}%%.

%%\overrightarrow{AZ}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0\end{pmatrix}%%, %%\overrightarrow{BZ}=\begin{pmatrix} 0\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Um zu spiegeln, setze die Vektoren %%\overrightarrow{AZ}%% und %%\overrightarrow{BZ}%% an den Punkt %%Z%%.

%%\overrightarrow{A'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{AZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{B'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{BZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0\\3\end{pmatrix}%%

Spiegeln an z

Berechne die Seitenlängen des Quadrats

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%%

%%A'(0|3|3)%%, %%B'(3|0|3)%%

Ein Quadrat ist festgelegt durch zwei benachbarte, gleich lange Seiten und einen rechten Winkel zwischen diesen.
Verwende %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AB'}%%.

%%\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AB'}=\begin{pmatrix} 3-6\\0-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Berechne die Längen der Vektoren.

%%\begin{array}{rrl} \overline{AB} &= &\sqrt{(-3)^2+3^2+0^2} \\ &= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}} = \color{#CC0000}{3\sqrt{2}} \\ \overline{AB'} &= &\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2} \\ &= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}}=\color{#CC0000}{3\sqrt{2}}\\ \qquad \end{array}%%

Die Seiten sind gleich lang!
Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.

%%\begin{array}{rrl} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AB'} &= &0 \\ -3\cdot (-3)+3\cdot (-3)+0\cdot 0 &= &0 \\ 0 &= &0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'} \end{array}%%

Somit ist %%ABA'B'%% ein Quadrat.

Lösung zur Teilaufgabe d)

Bekannt

  • %%ABA'B'%% ist ein Quadrat mit Seitenlänge %%3\sqrt 2%%.
  • %%Z%% ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.
  • %%\overline{ZC}%% ist die Höhe der Pyramide %%ABA'B'C%%.

Volumenformel einer Pyramide: %%V= \frac{1}{3}Gh%%

Berechne ihre Grundfläche.

%%G=(3\sqrt 2)^2=18%%

Berechne die Höhe %%\overline{ZC}%%.

%%\overrightarrow{ZC}= \begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel ein.

%%\overline{ZC}=\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3%%

%%V = \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3 = 18%%

Verdopple das Pyramidenvolumen, um das Volumen eines Oktaeders zu erhalten.

%%V_{Oktaeder} = 2\cdot 18 = 36%%

Das Volumen des Oktaeders beträgt %%36%%.

Lösung zur Teilaufgabe e)

Die Dreiecke %%ABC%% und %%AC'B%% liegen in eindeutig festgelegten Ebenen. Berechne den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.

Berechne die Normalenvektoren der Ebenen

Ebene %%E%% durch %%ABC%% aus Teilaufgabe a):

%%E: x_1+x_2+x_3-12=0%%

%%\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}%%

Ebene %%F%% durch %%AC'B%%:

%%A(6|3|3)%%, %%B(3|6|3)%%, %%C'(3|3|0)%%

Stelle die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC'}%% auf.

%%\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3-6\\6-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC'}=\begin{pmatrix} 3-6\\3-3\\0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix}%%

Bilde das Vektorprodukt.

%%\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} -3\\3\\0 \end{pmatrix}&\times&\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -9\\-9\\9\end{pmatrix} &=& -9\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow\overrightarrow{n_F}&=&\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\end{pmatrix} \end{array}%%

Berechne den Winkel mit

%%cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_F}}{|\overrightarrow{n_E}| \cdot |\overrightarrow{n_F}|}%%.

%%cos(\alpha)=\frac{1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+1 \cdot 1}{\sqrt{\vphantom{(-1)^2}1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=-\frac{1}{3}%%

%%\Rightarrow\alpha =109,47^\circ%%

Der Winkel beträgt also %%109,47^\circ%%.

Lösung zur Teilaufgabe f)

Da %%A'%%, %%B'%% und %%C'%% durch Spiegelung an %%Z%% entstanden sind und %%ABA'B'%% ein Quadrat ist, ist %%Z%% der Mittelpunkt der Kugel.

Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von %%Z%% ausgehen. Nehme zum Beispiel %%\overrightarrow{ZC}%%, von dem du bereits weißt, dass er %%3\ LE%% lang ist.

Kugelgleichung

%%Z(3|3|3)%%, %%r=3%%

Stelle die Kugelgleichung auf.

%%K: (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2%%

%%K: (x_1-3)^2+(x_2-3)^2+(x_3-3)^2=3^2%%

Kugelvolumen

%%r=3%%

Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.

%%V=\frac{4}{3}r^3\pi%%
%%V=\frac{4}{3}\cdot 3^3\pi%%
%%V=36\pi \ VE=113,10 \ VE%%

Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen

%%\frac{36}{36\pi}=\frac1\pi\approx 0,318\approx 31,8\% %%