Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

Hinderniselement

Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Achse die Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich %%-2\leq x\leq 2%%. Die Profillinie der Abfahrt wird für %%2\leq x \leq 8%% durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion %%f%% beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Modell Skate-Park

a)

(2 BE)

Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts %%f(2)%% im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion %%q%% an, deren Graph %%G_q%% für %%-8 \leq x \leq -2%% die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.

b)

(5 BE)

Berechnen Sie die Stelle %%x_m%% im Intervall %%[2;8]%%, an der die lokale Änderungsrate von %%f%% gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

c)

(3 BE)

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert %%x_m%% könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

d)

(2 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels %%\alpha%%, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).

e)

(3 BE)

Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen %%G_f%% und der x-Achse im Bereich %%2 \leq x \leq 6%% sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion %%F%%, wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

In der Aufgabe wird eine Skat-Park-Anlage durch Funktionsgraphen modelliert.

Lösung Teilaufgabe a)

a)
(2 BE)
Da die vordere Seitenfläche des Hinderniselements symmetrisch zur y-Achse sein soll, erhält man die Funktionsgleichung der Auffahrtslinie qqdurch Spiegelung der (bereits in Aufgabe 1 betrachteten) Funktion f:f(x)=2ln(x1)f: f(x)=2-ln(x-1) mit Df=[2;8]D_f=[2;8] an der y-Achse.
Für die gespiegelte Funktion qq gilt:
f(2)f(2) gibt die Höhe der Plateaulinie an. Und wegen q(2)=f(2)q(-2)=f(2) ist gesichert, dass das Plateau horizontal verläuft und die Übergänge von Auffahrt zu Plateau und von Plateau zu Abfahrt ohne Sprünge erfolgen.
Für die Plateauhöhe gilt:
q(2)=f(2)=2ln(21)=2ln1=2q(-2)=f(2)=2-ln(2-1)= 2-ln\,1=2.

Lösung Teilaufgabe b)

b)
(5 BE)
In dieser Teilaufgabe ist eine lokale Änderungsrate von der mittleren Änderungsrate zu unterscheiden.

Die lokale Änderungsrate von ff an der Stelle xmx_m ist der Ableitungswert für xmx_m.
Bilde die Ableitung von ff:
f(x)=1x1f'(x)=\displaystyle-\frac{1}{x-1} \quad\Rightarrow
f(xm)=11xmf'(x_m)=\displaystyle \frac{1}{1-x_m}.
Die mittlere Änderungsrate von ff im Intervall [2;8][2;8] ist die Steigung mm der Strecke zwischen den Punkten (2;f(2))(2;f(2)) und (8;f(8))(8;f(8)).
Es gilt:
m=f(8)f(2)82m=\displaystyle\frac{f(8)-f(2)}{8-2}
m=2ln726=ln76m=\displaystyle \frac{2-ln\,7-2}{6}=\frac{-ln\,7}{6}.
Bedingung für xmx_m ist die Gleichung:

%%\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{1}{1-x_m}&=&\displaystyle \frac{-ln\,7}{6}&|\cdot 6\cdot(1-x_m)\\6&=&-ln\,7\cdot(1-x_m)&|:ln\,7\,|+1\\x_m&=&\displaystyle 1+\frac{6}{ln\,7}\\x_m&\approx&4,08\end{array}%%

Für rund 4,084,08 ist die lokale Änderungsrate von ff gleich der mittleren Änderungsrate des Intervalls [2;8][2;8].

Lösung Teilaufgabe c)

c)
(3 BE)
Du zeichnest als Lösung zur Strecke [AB] mit A(2f(2)A(2|f(2)) und B(8f(8)B(8|f(8)) eine parallele Gerade, die ff berührt. D.h. du legst näherungsweise die Tangente an den Graphen von ff, die parallel zur Sekante [AB][AB] ist.

Tangente graphisch

Du entnimmst dem x-Wert des Berührpunktes der Tangente mit dem Graphen von ff, dass er etwas größer ist als 4.

Lösung Teilaufgabe d)

d)
(2 BE)
Der Winkel α\alpha ergibt sich über den Neigungswinkel der Tangente tt im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) an den Graphen GfG_f.
Für den Neigungswinkel α\alpha‘ von tt gilt:

%%\begin{array}{rcll}tan(\alpha')&=&f'(2)\\tan(\alpha')&=&\displaystyle- \frac{1}{2-1}\\tan(\alpha')&=&-1&|\;tan^{-1}\\\alpha'&=&-45°\end{array}%%

Der Neigungswinkel einer Tangente mit einer negativen Steigung ergibt sich aus dem Taschenrechner als negativer Winkel. Das ist der Winkel, den die Achse mit der Tangente im Uhrzeigersinn einschließt.

Winkelberechnung

Da die Plateaulinie zur x-Achse parallel ist gilt:
α+45°=180°α=135°\alpha+45°=180°\quad\Rightarrow\quad\alpha=135°

Der Winkel, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen, beträgt 135°135°.

Lösung Teilaufgabe e)

e)
(3 BE)
Die Flächen in den Intervallen [6;2][-6;-2] und [2;6][2;6] sind kongruent, deshalb ergibt sich als Gesamtwerbefläche AA:
%%\begin{array}{rcll}A&=&2\cdot \displaystyle \int_2^6f(x)\mathrm{dx}\\&=&2\cdot\big[F(x)\big]_2^6\\&=&2\cdot\big[3x-(x-1)\cdot ln(x-1)\big]_2^6\\&=&2\cdot[3\cdot 6-(6-1)\cdot ln(6-1)-(3\cdot 2-(2-1)\cdot ln(2-1))]\\&=&2\cdot[18-5\cdot ln(5)-(6-\underbrace {ln(1)}_\color{red}{0})]\\&=&2\cdot(12-5\cdot ln(5))\\&=&24-10\cdot ln(5)\\A&\approx&7,91\end{array}%%

Für die Werbefläche des Skate-Parks stehen rund 7,91m27,91\,m^2 zur Verfügung.