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Teilaufgabe a)

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 Frauen im Stadtrat, indem du die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten teilst:

%%P(X=1)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{1}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{2}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}%%

%%P(X=2)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{2}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{1}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}%%

Teilaufgabe b)

Bestimme den Erwartungswert:

%%\mathrm{E(X)=\sum_{k \in \Omega} k \cdot P(X=k)}=%%

Setze die Werte aus Teilaufgabe a) ein.

%%=0 \cdot \frac{1}{55}+ 1 \cdot \frac{12}{55}+2 \cdot \frac{28}{55} + 3 \cdot \frac{14}{55}=%%

Schreibe auf einen Bruch.

%%=\frac{12+56+42}{55}=\frac{110}{55}=2%%

Bestimme die Varianz:

%%V(X)=E((X-E(X))^2)=%%

Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und den Erwartungswert ein.

%%=\frac{1}{55}(0-2)^2+\frac{12}{55}(1-2)^2+\frac{28}{55}(2-2)^2+\frac{14}{55}(3-2)^2=%%

Rechne aus.

%%=\frac{4}{55}+\frac{12}{55}+\frac{14}{55}=%%

Schreibe auf einen Bruch und vereinfache.

%%=\frac{30}{55}=\frac{6}{11}%%

Teilaufgabe c)

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich über die Formel %%E(X)=n\cdot p%% berechnen. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

%%E(Y)=n\cdot p = 3 \cdot \frac23 = 2%%

Die Varianz berechnet sich über die Formel %%V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)%%. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

%%V(Y)=n\cdot p \cdot (1-p)=3 \cdot \frac23 \cdot \frac13 = \frac23%%

Vergleiche die Varianz von X und Y durch Bildung des Hauptnenners. Dann folgt:

%%V(Y)=\frac23=\frac{22}{33}>\frac{18}{33}=\frac{6}{11}=V(X)%%

Man kann dies auch anhand der Abbildungen erkennen. Die Zufallsgröße Y nimmt die Werte 0,1 und 3 jeweils mit größerer Wahrscheinlichkeit als die Zufallsgröße X an, d.h. bei der Zufallsgröße Y ist die Abweichung vom Erwartungswert 2 größer als bei der Zufallsgröße X. X nimmt hingegen den Erwartungswert 2 mit höherer Wahrscheinlichkeit als Y an.