Aus einem Zylinder mit dem Radius %%r = 5dm%% und der Körperhöhe %%h_k = 12dm%% wird ein Viertel herausgeschnitten. Berechne die gesamte Oberfläche des entstandenen Körpers. (4 Punkte)

Hinweis: Skizze nicht maßstabgetreu

Zylinderkörper zur Oberflächenberechnung

Oberfläche eines Zylinders

Für diese Aufgabe solltest du die Oberfläche eines Zylinders berechnen können.

Schreibe zunächst die Formel für die allgemeine Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.

$$O_{Zylinder}=2\cdot\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}$$

Berechne erst den Flächeninhalt einer Grundfläche. Beachte dabei, dass es sich hier nicht um einen Ganzen, sondern um einen Dreiviertel-Kreis handelt. (Ein Viertel wurde herausgeschnitten, wie auf der Skizze oben zu sehen.)

%%\begin{array}{l}A_{Grundfläche}={\textstyle\frac34}\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\\\end{array}%%

Setze für den Radius %%5\, dm%% ein und berechne das Ergebnis.

%%\textstyle A_G=\frac34\cdot5\;dm\;\cdot5\;dm\cdot\mathrm\pi=\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2%%

Berechne als Nächstes den Flächeninhalt des Mantels:

%%A_{Mantelfläche}=\;a\cdot b%%

Hier die Mantellänge nicht gleich dem Kreisumfang ist, sondern nur gleich einem Dreiviertel des Kreisumfangs (%%U_{Kreis}=2r\pi%%) und zweimal die Länge der Rechtecke.

%%\begin{array}{l}\\\text{Mantelbreite}\;b\;=\;12\;dm\\\text{Mantellänge}\;a\;=\;\frac34\cdot 2\cdot 5\;dm\;\cdot\;\mathrm\pi\;+\;5\;\mathrm{dm}\;+\;5\;\mathrm{dm}\;=\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}\;+\;10\;\mathrm{dm}\end{array}%%

Setze %%a%% und %%b%% in die Formel ein.

%%A_{Mantelfläche}=\;12\;dm\;\cdot\;(\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}+10\;\mathrm{dm})\approx402,74\;dm^2%%

Setze zum Schluss die Grund- und Mantelfläche in die Oberflächenformel vom ersten Schritt ein, und rechne dabei die gesamte Oberfläche des Zylinders aus.

%%\begin{array}{l}O_{Zylinder}=2⋅\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}\\O_{Gesamt}\approx\;2\cdot\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2+402,74\;\mathrm{dm}^2\approx520,55\;\mathrm{dm}^2\end{array}%%

Die Oberfläche des Körpers ist also %%520,55\;\mathrm{dm}^2%%.