Lösung zur Teilaufgabe B 1.1

In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.

Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz %%\mathbb{R}%%.

Der maximale Wertebereich einer Exponentialfuktion %%f(b)=a^b%% ist

  • %%\mathbb{R}^+%% falls %%a>0%% und
  • %%\mathbb{R}^-%% falls %%a<0%%.

An der %%-3%% in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialunktion %%f_1: y=0{,}75^{x+2}-3%% im Vergleich zur Funktionsgleichung %%y=0{,}75^{x+2}%% lediglich um %%3%% Einheiten nach unten verschoben ist.

Es gilt also ebenfalls %%\mathbb{D}=\mathbb{R}%%.

Da bei der Exponentialfunktion %%y=0{,}75^{x+2}%% die Basis %%a=0{,}75%% größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von %%y=0{,}75^{x+2}%% durch %%\mathbb{R}^+%% gegeben.

Folglich ist %%\mathbb{W}=\{y\,|\,y>-3\}%% der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion %%f_1: y=0{,}75^{x+2}-3%%.

Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

Eine mögliche Wertetabelle ist:

Wertetabelle der ersten Funktion

Nun kannst du den Graph der Funktion %%f_1%% in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Skizze der ersten Funktion

Lösung zur Teilaufgabe B 1.2

Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der %%x%%-Achse als Affinitätsachse und %%k=-2%% als Affinitätsmaßstab auf die Funktion %%f_1%% an. Dann folgt

%% \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-2\cdot (0{,}75^{x+2}-3)\end{pmatrix} %%

und damit

%%y'=-2 \cdot 0{,}75^{x'+2}+6%%.

Parallelverschiebung mit dem Vektor %%\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}%% liefert

%% \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'-2\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7\end{pmatrix}%%.

Es gilt also %%y''=-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7%%.

Mit %%x''=x'-2%% folgt %%x'=x''+2%% und damit

%%y''=-2\cdot 0{,}75^{x''+4}+7%%.

Ingesamt folgt also

%%f_2: y=-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7%%.

Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

Eine mögliche Wertetabelle ist:

Wertetabelle der zweiten Funktion

Nun kannst du die Funktion %%f_2%% in dein Koordinatensystem einzeichnen.

Skizze der beiden Funktionen

Lösung zur Teilaufgabe B 1.3

In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.

Nun sollst du die beiden Drachenvierecke %%A_1B_1C_1D_1%% und %%A_2B_2C_2D_2%% in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte %%A_1,B_1,C_1,D_1%% und %%A_2,B_2,C_2,D_2%% bestimmen.

Um den Punkt %%A_1%% zu berechnen, setzt du %%x=-5%% in %%A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)%% ein und erhältst ungefähr %%A_1\left(-5|-0{,}63\right)%%. Für den Punkt %%C_1%% setzt du %%x=-5%% in %%C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)%% ein und erhältst den gerundeten Punkt %%C_1\left(-5|4{,}33\right)%%.

Die Punkte %%A_2%% und %%C_2%% berechnest du analog, indem du %%x=1%% in %%A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)%% und %%C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)%% einsetzt.

Dies liefert ungefähr %%A_2\left(1|-2{,}58\right)%% und %%C_2 \left(1|\, 6{,}53\right)%%.

Außerdem weißt du aus der Angabe, dass %%\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%% gilt, insbesondere also auch %%\overrightarrow{A_1B_1}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{A_2B_2}=\begin {pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%%.

Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse

%%\overrightarrow{B_1}=\overrightarrow{A_1}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\left(-2\, |\,1{,}37\right)%% sowie %%\overrightarrow{B_2}=\overrightarrow{A_2}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\left(4\, |-0{,}58\right)%%.

Laut Angabe gilt zudem, dass %%[A_nC_n]%% auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke %%A_nB_nC_nD_n%% liegen, insbesondere liegen also auch %%[A_1C_1]%% auf %%A_1B_1C_1D_1%% und %%[A_2C_2]%% auf %%A_2B_2C_2D_2%%.

Folglich liegen %%D_1%% und %%D_2%% bezüglich der Symmetrieachsen %%[A_1C_1]%% bzw. %%[A_2C_2]%% symmetrisch zu %%B_1%% bzw. %%B_2%%. Dies bedeutet, dass %%B_n%% und %%D_n%% jeweils die gleichen %%y%%-Koordinaten haben. Du erhältst %%D_n%% also, indem du %%B_n%% an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse %%A_nC_n%% spiegelst.

Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke %%A_1B_1C_1D_1%% und %%A_2B_2C_2D_2%% in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:

Skizze der Funktionen und Drachenvierecke

Alternative (rechnerische) Löung

Da %%B_n%% 3 Einheiten von der Spiegelachse entfernt liegt, ist die x-Koordinate von %%D_n%% bezüglich %%B_n%% um %%2\cdot3%% Einheinten nach links verschoben.

Damit erhältst du die gerundeten Erbgebnisse %%D_1=\overrightarrow{B_1}+2\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}=\left(-8\, |\, 1{,}37\right)%% und %%D_2=\overrightarrow{B_2}+2\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}=\left(-2|-0{,}58\right)%%.

Alternativ kannst du die Punkte %%D_n%% auch berechnen, indem du den Vektor %%\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%% spiegelst, also den Vektor %%\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}%% verwendest.

Dies liefert %%D_n=\overrightarrow{A_n}+\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}%%, also %%D_1=\overrightarrow{A_1}+\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}=\left(-8\, |\, 1{,}37\right)%% und %%D_2=\overrightarrow{B_2}+\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}=\left(-2|-0{,}58\right)%%.

Diese Punkte kannst du nun in dein Koordinatensystem einzeichnen und zu den gewünschten Drachenvierecken verbinden.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.4

In dieser Teilaufgabe geht es um die Berechnung der Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten.

Um die Länge der Strecke %%[A_nC_n]%% zu berechnen, bemerkst du zunächst, dass die Punkte %%A_n%% und %%C_n%% die selbe %%x%%-Koordinate besitzen, also "untereinander" liegen, wobei jeweils %%C_n%% der obere und %%A_n%% der untere Punkt ist.

Den Abstand dieser zwei Punte berechnest du nun, indem du die %%y%%-Koordinate des Puktes %%A_n%% von der %%y%%-Koordinate des Punktes %%C_n%% abziehst.

Es gilt also

%%\begin{array} &\overline{A_nC_n}(x)&=[-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]\, (\mathrm{LE})&|\, x+4=x+2+2\\ &=[-2\cdot 0{,}75^{x+2+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]\, (\mathrm{LE})&|\, 0{,}75^{x+2+2}=0{,}75^{x+2}\cdot0{,}75^2\\ &=[-2\cdot0{,}75^2\cdot 0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]\, (\mathrm{LE})&\mathrm{Vereinfache \, die \, Gleichung.}\\ &=[-1{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]\, (\mathrm{LE})&\mathrm{Löse \, die \, Klammer \, auf.}\\ &=[-1{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+7-1\cdot0{,}75^{x+2}+3]\, (\mathrm{LE})&\mathrm{Klammere \, \, 0{,}75 \, aus.}\\ &=[\, 0{,}75^{x+2}\cdot (-1{,}125-1)+7+3]\, (\mathrm{LE})&\mathrm{Vereinfache \, die \, Gleichung.}\\ &=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE}) \end{array}%%

Lösung zur Teilaufgabe B 1.5

In dieser Teilaufgabe berechnest du die Koordinaten eines Punktes einer Raute.

Für die Raute %%A_3B_3C_3D_3%% gilt %%\overline{A_3C_3}=4\, (\mathrm{LE})%%.

Aus Teilaufgabe B. 1.4 weißt du, dass %%\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})%% gilt.

Damit folgt nun %%-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10=4%%

Jetzt kannst du die Gleichung nach %%x%% auflösen. Dafür benötigst du die Rechenregeln des %%\ln%%.

Auflösen liefert:

%%\begin{array} &&-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10=4&|-10\\ &-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}=-6&|:1{,}125\\ &0{,}75^{x+2}=\frac{-6}{-2{,}125}&|\ln(\cdot)\\ &\ln\left(0{,}75^{x+2}\right)=\ln\left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)&\text{Wende Rechenregel des} \ln \text{an.}\\ &(x+2)\cdot \ln\left(0{,}75\right)=\ln\left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)&|:\ln(0{,}75)\\ &(x+2)=\frac{\ln\left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln\left(0{,}75\right)}&|-2\\ &x=\frac{\ln\left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln\left(0{,}75\right)}-2&\mathrm{Vereinfache \, die \, Gleichung.}\\ &x=-5{,}60811…&\mathrm{Runde \, das\, Ergebnis.}\\ &x=-5{,}61\end{array}%%

Die %%x%%-Koordinate des Punktes %%A_3%% ist also %%x=-5{,}61%%.

Die %%y%%-Koordinate von %%A_3%% erhältst du durch Einsetzen von %%x=-5{,}61%% in %%A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)%%.

Dies liefert %%0{,}75^{-5{,}61+2}-3=-0{,}174932=-0{,}17%% als %%y%%-Koordinate.

Mit %%\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%% folgt nun

%%\overrightarrow{OB_3}=\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}-5{,}61\\-0{,}17\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2{,}61\\1{,}83\end{pmatrix}%%.

Damit ist der Punkt %%B_3%% durch %%B_3 \left(-2{,}61\, |\, 1{,}83\right)%% gegeben.

Lösung zur Teilaufgabe B 1.6

In dieser Aufgabe berechnest du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks.

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks %%ABCD%% wird durch %%A=e\cdot f=\dfrac{\overline{AC}\cdot \overline{BD}}{2}%% berechnet.

Skizze eines Drachenvierecks

Nun kannst du den Flächeninhalt der Drachenvierecke %%A_nB_nC_nD_n%% berechnen:

In Teilaufgabe B. 1.4 hast du %%\overline{A_nC_n}(x)=[-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})%% berechnet.

Weil %%D_n%% bezüglich der Symmetrieachse %%[A_nC_n]%% symmetrisch zu %%B_n%% ist und %%\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}%% gilt, folgt %%\overline{B_nD_n}=6\, (\mathrm{LE})%%

Damit erhältst du

%%\begin{array} &A(x)&=\dfrac{6 \cdot \left(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10\right)}{2}\\ &=\dfrac{-12{,}75\cdot0{,}75^{x+2}+60}{2}\\ &=-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30 \, \, (\mathrm{FE}) \end{array}%%

Da der Termwert von %%-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}%% für alle %%x\in \mathbb{R}%% negativ ist, gilt für den Flächeninhalt der Drachenvierecke %%A_nB_nC_nD_n%% immer %%A<30 \, (\mathrm{FE})%%. Insbesondere gilt dies also auch für alle %%x>-6{,}61%%.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe ansehen.