Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y=0{,}75^{x+2}-3~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-9;4]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-9\le x\le 5;~~-4\le y\le 8$
Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.
Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz $\mathbb{R}$ .
Der maximale Wertebereich einer Exponentialfunktion $f (b) = a^{b}$ ist
$\mathbb{R}^+$ falls $a > 0$ und
$\mathbb{R}^-$ falls $a < 0$ .
An der $- 3$ in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialfunktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$ im Vergleich zur Funktionsgleichung $y=0{,}75^{x+2}$ lediglich um $3$ Einheiten nach unten verschoben ist.
Es gilt also ebenfalls $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ .
Da bei der Exponentialfunktion $y=0{,}75^{x+2}$ die Basis $a = 0,75$ größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von $y=0{,}75^{x+2}$ durch $\mathbb{R}^+$ gegeben.
Folglich ist $\mathbb{W}=\{y\,|\,y>-3\}$ der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$ .
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der ersten Funktion
Nun kannst du den Graphen der Funktion $f_{1}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der ersten Funktion
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y=-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7$ besitzt $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-9{,}4]$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und $k = - 2$ als Affinitätsmaßstab auf die Funktion $f_{1}$ an. Dann folgt
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-2\cdot (0{,}75^{x+2}-3)\end{pmatrix}$
und damit
$y'=-2 \cdot 0{,}75^{x'+2}+6$ .
Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ liefert
$\displaystyle \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'-2\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7\end{pmatrix}$
.
Es gilt also $y''=-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7$ .
Mit $x^{''} = x^{'} - 2$ folgt $x^{'} = x^{''} + 2$ und damit
$y''=-2\cdot0{,}75^{x''+4}+7$ .
Insgesamt folgt also:
$\displaystyle f_2:y=-2\cdot0{,}75^{x+4}+7$
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der zweiten Funktion
Nun kannst du die Funktion $f_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der beiden Funktionen
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Punkte $A_n(x|0{,}75^{x+2}-3)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_n(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x > - 6,61$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Strecken $[A_{n} C_{n}]$ liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 5$ und das Drachenviereck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.
Nun sollst du die beiden Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ und $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ bestimmen.
Um den Punkt $A_{1}$ zu berechnen, setzt du $x = - 5$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ ein und erhältst ungefähr $A_1\left(-5|-0{,}63\right)$ . Für den Punkt $C_{1}$ setzt du $x = - 5$ in $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ ein und erhältst den gerundeten Punkt $C_1\left(-5|4{,}33\right)$ .
Die Punkte $A_{2}$ und $C_{2}$ berechnest du analog, indem du $x = 1$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ und $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ einsetzt.
Dies liefert ungefähr $A_2\left(1|-2{,}58\right)$ und $C_2\left(1|\, 6{,}53\right)$ .
Außerdem weißt du aus der Angabe, dass $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ gilt, insbesondere also auch $\overrightarrow{A_1B_1}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{A_2B_2}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .
Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse
$\displaystyle \overrightarrow{B_1}=\overrightarrow{A_1}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-0{,}63\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1{,}37\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;B_1\left(-2\, |\,1{,}37\right)$
sowie
$\displaystyle \overrightarrow{B_2}=\overrightarrow{A_2}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2{,}58\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-0{,}58\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;B_2\left(4\, |\,-0{,}58\right)$
Laut Angabe gilt zudem, dass $[A_{n} C_{n}]$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen, insbesondere liegen also auch $[A_{1} C_{1}]$ auf $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $[A_{2} C_{2}]$ auf $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
Folglich liegen $D_{1}$ und $D_{2}$ bezüglich der Symmetrieachsen $[A_{1} C_{1}]$ bzw. $[A_{2} C_{2}]$ symmetrisch zu $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ . Dies bedeutet, dass $B_{n}$ und $D_{n}$ jeweils die gleichen $y$ -Koordinaten haben. Du erhältst $D_{n}$ also, indem du $B_{n}$ an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse $A_{n} C_{n}$ spiegelst.
Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:
Skizze der Funktionen und Drachenvierecke
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10)$ LE.

Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zur Teilaufgabe e

In dieser Teilaufgabe berechnest du die Koordinaten eines Punktes einer Raute.

Für die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ gilt $\overline{A_3C_3}=4\, (\mathrm{LE})$ .

Aus Teilaufgabe d weißt du, dass $\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})$ gilt.

Damit folgt nun $-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10=4$

Jetzt kannst du die Gleichung nach $x$ auflösen. Dafür benötigst du die Rechenregeln des $\ln$ .

Auflösen liefert:

$\displaystyle -2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -10$
$\displaystyle -2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :(-2{,}125)$
$\displaystyle 0{,}75^{x+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{-2{,}125}$	$\displaystyle \ln (\cdot )$
$\displaystyle \ln \left(0{,}75^{x+2}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)$
	↓	Wende Rechenregel des $\ln$ an.
$\displaystyle (x+2)\cdot \ln \left(0{,}75\right)$	$=$	$\displaystyle \ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)$	$\displaystyle :\ln (0{,}75)$
$\displaystyle (x+2)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln \left(0{,}75\right)}$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln \left(0{,}75\right)}-2$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle -5{,}60811\dots$
	↓	Runde
	$\approx ≈$	$\displaystyle -5{,}61$

Die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ ist also $x = - 5,61$ .

Die $y$ -Koordinate von $A_{3}$ erhältst du durch Einsetzen von $x = - 5,61$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ .

Dies liefert $0{,}75^{-5{,}61+2}-3=-0{,}174932=-0{,}17$ als $y$ -Koordinate.

Mit $\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ folgt nun

\displaystyle \overrightarrow{OB_3}=\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}-5{,}61\\-0{,}17\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2{,}61\\1{,}83\end{pmatrix}.

Damit ist der Punkt $B_{3}$ durch $B_3 \left(-2{,}61\, |\, 1{,}83\right)$ gegeben.

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Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=(-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30)$ FE.

Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt: $A < 30$ FE.

Das gleichschenklige Trapez $A B C D$ hat die parallelen Seiten $[A D]$ und $[B C]$ . Der Mittelpunkt der Seite $[A D]$ ist der Punkt $K$ , der Mittelpunkt der Seite $[B C]$ ist der Punkt $L$ . Das Trapez $A B C D$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $A B C D E F G H$ (siehe Skizze). Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $\overline{AD}=8~cm$ ; $\overline{BC}=12~cm$ ; $\overline{KL}=6~cm$ ; $\overline{AE}=7~cm$

Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas $A B C D E F G H$ , wobei $[K L]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $K$ links vom Punkt $L$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\quad\omega=45^\circ$ .

Lösung zu Teilaufgabe a
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Der Mittelpunkt der Kante $[E H]$ ist der Punkt $M$ , der Mittelpunkt der Kante $[F G]$ ist der Punkt $N$ . Für den Punkt $S$ auf $[M N]$ gilt: $\overline{SN}=2~cm$ .

Punkte $P_{n}$ auf $[K S]$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ die Dreiecke $K L P_{n}$ . Die Winkel $P_{n} L K$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^\circ;74{,}05^\circ].$

Zeichnen Sie die Strecke $[M N]$ , den Punkt $S$ sowie das Dreieck $K L P_{1}$ für $\varphi=45^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel $L K S$ das Maß $60{,}26^\circ$ hat.

Lösung zu Teilaufgabe b

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt $M$ der Mittelpunkt der Strecke $[E H]$ und $N$ der Mittelpunkt der Strecke $[F G]$ ist.

Außerdem soll $S$ auf der Strecke $[M N]$ liegen, wobei $\overline{SN}=2 \, \text{cm}$ gilt.

Als Erstes kannst du also die Punkte $M$ und $N$ sowie die Strecke $[M N]$ einzeichnen.

Danach zeichnest du den Punkt $S$ genau $2\, \text{cm}$ links vom Punkt $N$ auf der Strecke $[M N]$ ein.

Jetzt kannst du den Winkel $\sphericalangle KLP_1=\varphi=45°$ in dein Schrägbild einzeichnen.

Skizze des Schiefbilds mit der Geraden MN

Nun musst du noch den Winkel $\sphericalangle LKS$ berechnen.

Dafür nutzt du die Tangensbeziehung

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Um die Tangensbeziehung verwenden zu können, benötigst du einen rechten Winkel. Um diesen zu erhalten, zeichnest du zunächst den Lotfußpunkt $S^{'}$ von $S$ auf der Strecke $[K L]$ ein.

Der Punkt $S^{'}$ liegt nun $2\, \text{(cm)}$ von $L$ entfernt.

Es gilt also $\overline{S'L}=2\, \text{cm}$ .

Mit $\overline{KL}=6\, \text{cm}$ folgt dann:

$\overline{KS'}=6\, \text{cm}-2\, \text{cm}=4 \, \text{cm}$

Vielleicht hast du bereits bemerkt, dass der Winkel $\sphericalangle LKS$ dem Winkel $\sphericalangle S'KS$ entspricht und dass die Strecke $[S S^{'}]$ genauso lang ist wie die Strecke $[A E]$ .

Es gilt also $\overline{SS'}=7 \, \text{cm}$ .

Anwenden der Tangensbeziehung liefert nun:

$\tan \left(\sphericalangle LKS\right)=\tan\left(\sphericalangle S'KS\right)=\dfrac{\overline{SS'}}{\overline{KS'}}=\dfrac{7}{4}=1{,}75$ .

Nun löst du die Gleichung nach dem Winkel $\sphericalangle LKS$ auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, nämlich den Arcustangens.

Auflösen liefert ungefähr:

$\displaystyle \tan \left(\sphericalangle LKS\right)$	$=$	$\displaystyle 1{,}75$	$\displaystyle \arctan (\cdot )$
$\displaystyle \sphericalangle LKS$	$=$	$\displaystyle \arctan (1{,}75)$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 60{,}26^{\circ }$

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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[L P_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

\displaystyle \overline{LP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}21}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)}~\text{cm}.

Geben Sie die minimale Länge der Strecken $[L P_{n}]$ an.

Lösung zu Teilaufgabe c

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Sinussatz.

Zuerst betrachtest du das Dreieck $K L P_{n}$ und siehst, dass es nicht rechtwinklig ist. Daher kannst du in diesem Fall die Sinus-, Kosinus- und Tangensverhältnisse nicht verwenden.

Dafür ist der Sinussatz anwendbar. Dieser besagt, dass in einem Dreieck alle drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

In dieser Teilaufgabe gilt also mit dem Sinussatz:

\displaystyle \frac{\overline{KL}}{\sin(\sphericalangle KP_nL)}=\frac{\overline{LP_n}}{\sin(\sphericalangle LKS)}.

Die Innenwinkelsumme des Dreiecks $K L P_{n}$ beträgt immer $180^\circ$ .

Damit kannst du den Winkel $\sphericalangle KP_nL$ bestimmen.

Mit $\sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n$ und $\varphi_1=\sphericalangle LKP_n$ gilt:

$\displaystyle \sphericalangle KP_nL$	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\sphericalangle LKS-\sphericalangle P_nLK$
	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\sphericalangle LKP_n-\sphericalangle P_nLK$
	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\varphi_1-\sphericalangle P_nLK$

Nun löst du die obige Verhältnisgleichung nach $\overline{LP_n}$ auf:

$\displaystyle \dfrac{\overline{KL}}{\sin(\sphericalangle KP_nL)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{LP_n}}{\sin(\sphericalangle LKS)}$	$\displaystyle \cdot \sin\left(\sphericalangle LKS\right)$
$\displaystyle \overline{LP_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(\sphericalangle LKS\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)}$
	↓	$\sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n$
	$=$	$\displaystyle \sin\left(\sphericalangle LKP_n\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)}$

Jetzt kannst du dein Ergebnis aus Teilaufgabe b $\varphi_1=\sphericalangle LKP_n=60{,}26^\circ$ einsetzen.

Mit $\overline{KL}=6\, \text{(cm)}$ und obigem Ergebnis erhältst du für $\varphi=\sphericalangle P_nLK$ :

$\displaystyle \overline{LP_n}(\varphi )$	$=$	$\displaystyle \sin (60{,}26^{\circ })\cdot \frac{\overline{KL}}{\sin (180^{\circ }-60{,}26^{\circ }-\varphi )}$
	↓	Wende die Supplementbeziehung an.
	$=$	$\displaystyle \sin (60{,}26^{\circ })\cdot \frac{6}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$
	↓	Berechne
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}$

Hier hast du die allgemeingültige Supplementbeziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$ verwendet.

Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ nimmt ihren kleinsten Wert an, wenn der Nenner möglichst groß ist.

Gesucht ist also das $\varphi$ , für das $\sin(60{,}26^\circ+\varphi)$ möglichst groß ist.

Du weißt, dass der Sinus Werte zwischen $- 1$ und $1$ annimmt. Der größtmögliche Wert des Sinus ist also $1$ .

Dieser Wert wird für den Winkel $90^\circ$ angenommen.

Für $90^\circ=60{,}26^\circ+\varphi$ folgt $\varphi=90^\circ-60{,}26^\circ=29{,}74^\circ$ .

Damit erhältst du

$\displaystyle\overline{LP_n}_\text{min}=\dfrac{5{,}21}{\sin(90^\circ)}=\dfrac{5{,}21}{1}=5{,}21\,\mathrm{cm}.$

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Unter den Dreiecken $K L P_{n}$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $K L P_{2}$ mit der Basis $[K P_{2}]$ . Berechnen Sie die Länge der Strecke $[K P_{2}]$ .

Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $A B C D P_{n}$ mit den Höhen $[P_{n} T_{n}]$ und $T_{n}$ auf der Strecke $[K L]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $A B C D P_{1}$ und ihre Höhe $[P_{1} T_{1}]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{104{,}20\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)}$ cm³.

Lösungen zu Teilaufgabe e
Diese Aufgabe benötigt die Flächeninhaltsformel für Trapeze sowie die Volumenformel für Pyramiden.
Erinnere dich zunächst, dass das Volumen einer schiefen Pyramide mit dem einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe übereinstimmt. Die Formel lautet daher
$\displaystyle V=\frac 13 \cdot G\cdot h.$
Dabei bezeichnet $G$ die Grundfläche und $h=\overline{P_nT_n}$ die Höhe.
Du benötigst also zunächst die Fläche des Trapezes $A B C D$ . Da $[K L]$ die Höhe des Trapezes ist, kannst du mit der Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:
$\displaystyle G=\frac 12\cdot (a+c)\cdot h=\frac 12 \left(\overline{AD}+\overline{BC}\right)\cdot \overline{KL}=\frac 12\cdot(8+12)\cdot 6=60\,\mathrm{cm^2}$
Nun musst du noch die Länge $\overline{P_nT_n}$ berechnen. Dazu wendest du die Sinusbeziehung auf das rechtwinklige Dreieck $T_{n} L P_{n}$ an:
$\displaystyle \overline{P_nT_n}=\sin(\varphi)\cdot\overline{LP_n}(\varphi)$
Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ kennst du bereits aus Teilaufgabe c und kannst daher abschließend alles gesammelt in die Volumenformel der Pyramide einsetzen:
$\displaystyle V=\frac 13\cdot 60\cdot \sin(\varphi)\cdot\frac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}=\frac{104{,}20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}^3$
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Die Pyramide $B C G F P_{3}$ mit der rechteckigen Grundfläche $B C G F$ und der Spitze $P_{3}$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A B C D P_{3}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

Lösung zu Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe benötigst du erneut die Volumenformel von Pyramiden sowie die trigonometrischen Beziehungen.

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche $B C G F$ der Pyramide ein Rechteck ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:

\displaystyle G=\overline{BC}\cdot\overline{FG}=\overline{BC}\cdot\overline{AE}=12\cdot 7=84\,\mathrm{(cm^2)}

Für die Höhe musst du die Länge der Strecke $[P_{3} U]$ (siehe dazu die rechtsstehende Abbildung) berechnen. Hierbei ist $U$ der Lotfußpunkt von $P_{3}$ auf die Strecke $[N L]$ .

Es gilt $\overline{P_3U}=\overline{T_3L}$ .

Erinnere dich an die Kosinusbeziehung

\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\overline{T_3L}}{\overline{LP_3}}.

Löst du diese nach $\overline{T_3L}$ auf, so erhältst du $\overline{T_3L}=\cos(\varphi)\cdot\overline{LP_3}.$

Die Länge $\overline{LP_n}$ hast du bereits in Teilaufgabe c für jedes $n$ bestimmt:

\displaystyle \overline{LP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm.}

Diese Beziehung gilt selbstverständlich auch für $n = 3$ und du setzt ein, um

\displaystyle \overline{T_3L}=\cos(\varphi)\cdot\overline{LP_3}=\cos(\varphi)\cdot\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}

zu erhalten.

Mit der Volumenformel für Pyramiden gilt also:

\displaystyle V=\dfrac13\cdot G\cdot h=\dfrac13\cdot G\cdot \overline{T_3L}=\dfrac{84}{3}\cdot\cos(\varphi)\cdot\dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm^3}

Dies setzt du mit dem in Teilaufgabe e berechneten Pyramidenvolumen gleich und löst die Gleichung nach $\varphi$ auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens. Um diesen zu verwenden, kannst du die Taste $\tan^{-1}$ auf deinem Taschenrechner benutzen. Damit erhältst du:

$\displaystyle \frac{84}{3}\cdot \cos (\varphi )\cdot \frac{5{,}21}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$	$=$	$\displaystyle \frac{104{,}20\cdot \sin (\varphi )}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$	$\displaystyle \cdot \sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )$
$\displaystyle \frac{84}{3}\cdot 5{,}21\cdot \cos (\varphi )$	$=$	$\displaystyle 104{,}20\cdot \sin (\varphi )$	$\displaystyle :104{,}20$
$\displaystyle \frac{84\cdot 5{,}21}{3\cdot 104{,}20}\cdot \cos (\varphi )$	$=$	$\displaystyle \sin (\varphi )$	$\displaystyle :\cos (\varphi )$
$\displaystyle \frac{84\cdot 5{,}21}{3\cdot 104{,}20}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (\varphi )}{\cos (\varphi )}$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 1{,}4$	$=$	$\displaystyle \tan (\varphi )$	$\displaystyle \arctan (\cdot )$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle \arctan (1{,}4)$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 54{,}46°$

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$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10\right)\cdot 6}{2}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{-12{,}75\cdot 0{,}75^{x+2}+60}{2}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle -6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30$

$\displaystyle \overline{KP_2}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{LP_2}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{LP_2}\cdot\overline{KL}\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle \overline{KL}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \overline{KL}^2\cdot \left(1-\cos (180°-2\cdot 60{,}26°)\right)$

Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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Lösung zur Teilaufgabe f

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Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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Lösung zu Teilaufgabe d

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Lösungen zu Teilaufgabe e

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Lösung zu Teilaufgabe f

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$\displaystyle \overline{A_nC_n}(x)$	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^{x+4}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Ersetze $x + 4$ durch $x + 2 + 2$ .
	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^{x+2+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	$0{,}75^{x+2+2}=0{,}75^{x+2}\cdot0{,}75^2$
	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^2\cdot0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle [-1{,}125\cdot0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle [-1{,}125\cdot0{,}75^{x+2}+7-1\cdot0{,}75^{x+2}+3]$
	↓	Klammere $0{,}75^{x+2}$ aus
	$=$	$\displaystyle [\, 0{,}75^{x+2}\cdot (-1{,}125-1)+7+3]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle [-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]$