Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.

Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz $\mathbb{R}$.

Der maximale Wertebereich einer Exponentialfunktion $f(b)=a^b$ ist

• $\mathbb{R}^+$ falls $a>0$ und

• $\mathbb{R}^-$ falls $a<0$.

An der $-3$ in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialfunktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$ im Vergleich zur Funktionsgleichung $y=0{,}75^{x+2}$ lediglich um $3$ Einheiten nach unten verschoben ist.

Es gilt also ebenfalls $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Da bei der Exponentialfunktion $y=0{,}75^{x+2}$ die Basis $a=0{,}75$ größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von $y=0{,}75^{x+2}$ durch $\mathbb{R}^+$ gegeben.

Folglich ist $\mathbb{W}=\{y\,|\,y>-3\}$ der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$.

Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

Eine mögliche Wertetabelle ist:

Nun kannst du den Graphen der Funktion $f_1$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe b

Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und $k=-2$ als Affinitätsmaßstab auf die Funktion $f_1$ an. Dann folgt

und damit

$y'=-2 \cdot 0{,}75^{x'+2}+6$.

Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$liefert

.

Es gilt also $y''=-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7$.

Mit $x''=x'-2$ folgt $x'=x''+2$ und damit

$y''=-2\cdot0{,}75^{x''+4}+7$.

Insgesamt folgt also:

Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

Eine mögliche Wertetabelle ist:

Nun kannst du die Funktion $f_2$ in dein Koordinatensystem einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe c

In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.

Nun sollst du die beiden Drachenvierecke $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte $A_1,B_1,C_1,D_1$ und $A_2,B_2,C_2,D_2$ bestimmen.

Um den Punkt $A_1$ zu berechnen, setzt du $x=-5$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ ein und erhältst ungefähr $A_1\left(-5|-0{,}63\right)$. Für den Punkt $C_1$ setzt du $x=-5$ in $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ ein und erhältst den gerundeten Punkt $C_1\left(-5|4{,}33\right)$.

Die Punkte $A_2$ und $C_2$ berechnest du analog, indem du $x=1$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$und $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ einsetzt.

Dies liefert ungefähr $A_2\left(1|-2{,}58\right)$ und $C_2\left(1|\, 6{,}53\right)$.

Außerdem weißt du aus der Angabe, dass $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ gilt, insbesondere also auch $\overrightarrow{A_1B_1}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{A_2B_2}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse

sowie

Laut Angabe gilt zudem, dass $[A_nC_n]$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ liegen, insbesondere liegen also auch $[A_1C_1]$ auf $A_1B_1C_1D_1$ und $[A_2C_2]$ auf $A_2B_2C_2D_2$.

Folglich liegen $D_1$ und $D_2$ bezüglich der Symmetrieachsen $[A_1C_1]$ bzw. $[A_2C_2]$ symmetrisch zu $B_1$ bzw. $B_2$. Dies bedeutet, dass $B_n$ und $D_n$ jeweils die gleichen $y$-Koordinaten haben. Du erhältst $D_n$ also, indem du $B_n$ an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse $A_nC_n$ spiegelst.

Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:

Lösung zur Teilaufgabe d

In dieser Teilaufgabe geht es um die Berechnung der Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten.

Um die Länge der Strecke $[A_nC_n]$ zu berechnen, bemerkst du zunächst, dass die Punkte $A_n$ und $C_n$ dieselbe $x$-Koordinate besitzen, also "untereinander" liegen, wobei jeweils $C_n$ der obere und $A_n$ der untere Punkt ist.

Den Abstand dieser zwei Punkte berechnest du nun, indem du die $y$-Koordinate des Punktes $A_n$ von der $y$-Koordinate des Punktes $C_n$ abziehst.

Es gilt also

Es ist also $\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})$.

Lösung zur Teilaufgabe e

In dieser Teilaufgabe berechnest du die Koordinaten eines Punktes einer Raute.

Für die Raute $A_3B_3C_3D_3$ gilt $\overline{A_3C_3}=4\, (\mathrm{LE})$.

Aus Teilaufgabe d weißt du, dass $\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})$ gilt.

Damit folgt nun $-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10=4$

Jetzt kannst du die Gleichung nach $x$ auflösen. Dafür benötigst du die Rechenregeln des $\ln$.

Auflösen liefert:

Die $x$-Koordinate des Punktes $A_3$ ist also $x=-5{,}61$.

Die $y$-Koordinate von $A_3$ erhältst du durch Einsetzen von $x=-5{,}61$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$.

Dies liefert $0{,}75^{-5{,}61+2}-3=-0{,}174932=-0{,}17$ als $y$-Koordinate.

Mit $\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ folgt nun

Damit ist der Punkt $B_3$ durch $B_3 \left(-2{,}61\, |\, 1{,}83\right)$ gegeben.

Lösung zur Teilaufgabe f

In dieser Aufgabe berechnest du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks.

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks $ABCD$ wird durch $A=\dfrac{e\cdot f}{2}=\dfrac{\overline{AC}\cdot \overline{BD}}{2}$ berechnet.

Nun kannst du den Flächeninhalt der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ berechnen:

In Teilaufgabe B. 1.4 hast du $\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})$ berechnet.

Weil $D_n$ bezüglich der Symmetrieachse $[A_nC_n]$symmetrisch zu $B_n$ ist und $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ gilt, folgt $\overline{B_nD_n}=6\, (\mathrm{LE})$

Damit erhältst du

Es ist also $A(x)=-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30\, (\mathrm{FE})$.

Da der Termwert von $-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}$ für alle $x\in \mathbb{R}$ negativ ist, gilt für den Flächeninhalt der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ immer $A<30 \, (\mathrm{FE})$. Insbesondere gilt dies also auch für alle $x>-6{,}61$.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe ansehen.

Lösung zu Teilaufgabe a

Lösung zu Teilaufgabe b

Lösung zu Teilaufgabe c

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Sinussatz.

Nun löst du die obige Verhältnisgleichung nach $\overline{LP_n}$ auf:

Jetzt kannst du dein Ergebnis aus Teilaufgabe b $\varphi_1=\sphericalangle LKP_n=60{,}26^\circ$einsetzen.

Mit $\overline{KL}=6\, \text{(cm)}$ und obigem Ergebnis erhältst du für $\varphi=\sphericalangle P_nLK$:

Hier hast du die allgemeingültige Supplementbeziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$ verwendet.

Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ nimmt ihren kleinsten Wert an, wenn der Nenner möglichst groß ist.

Gesucht ist also das $\varphi$, für das $\sin(60{,}26^\circ+\varphi)$ möglichst groß ist.

Du weißt, dass der Sinus Werte zwischen $-1$ und $1$ annimmt. Der größtmögliche Wert des Sinus ist also $1$.

Dieser Wert wird für den Winkel $90^\circ$ angenommen.

Für $90^\circ=60{,}26^\circ+\varphi$ folgt $\varphi=90^\circ-60{,}26^\circ=29{,}74^\circ$.

Damit erhältst du

$\displaystyle\overline{LP_n}_\text{min}=\dfrac{5{,}21}{\sin(90^\circ)}=\dfrac{5{,}21}{1}=5{,}21\,\mathrm{cm}.$

Lösung zu Teilaufgabe d

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Kosinussatz.

Dabei hast du die Innenwinkelsumme im Dreieck $KLP_2$ verwendet:

Setzt du nun $\overline{KL}=6\,\mathrm{cm}$ aus der Aufgabenstellung ein, so erhältst du

Lösungen zu Teilaufgabe e

Diese Aufgabe benötigt die Flächeninhaltsformel für Trapeze sowie die Volumenformel für Pyramiden.

Erinnere dich zunächst, dass das Volumen einer schiefen Pyramide mit dem einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe übereinstimmt. Die Formel lautet daher

Dabei bezeichnet $G$ die Grundfläche und $h=\overline{P_nT_n}$ die Höhe.

Du benötigst also zunächst die Fläche des Trapezes $ABCD$. Da $[KL]$ die Höhe des Trapezes ist, kannst du mit der Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:

Nun musst du noch die Länge $\overline{P_nT_n}$ berechnen. Dazu wendest du die Sinusbeziehung auf das rechtwinklige Dreieck $T_nLP_n$ an:

Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ kennst du bereits aus Teilaufgabe c und kannst daher abschließend alles gesammelt in die Volumenformel der Pyramide einsetzen:

$\displaystyle V=\frac 13\cdot 60\cdot \sin(\varphi)\cdot\frac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}=\frac{104{,}20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}^3$

Lösung zu Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe benötigst du erneut die Volumenformel von Pyramiden sowie die trigonometrischen Beziehungen.

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche $BCGF$ der Pyramide ein Rechteck ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:

Die Länge $\overline{LP_n}$ hast du bereits in Teilaufgabe c für jedes $n$ bestimmt:

Diese Beziehung gilt selbstverständlich auch für $n=3$ und du setzt ein, um

zu erhalten.

Mit der Volumenformel für Pyramiden gilt also:

Dies setzt du mit dem in Teilaufgabe e berechneten Pyramidenvolumen gleich und löst die Gleichung nach $\varphi$ auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens. Um diesen zu verwenden, kannst du die Taste $\tan^{-1}$ auf deinem Taschenrechner benutzen. Damit erhältst du: