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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=0,75x+23  (G=R×R)y=0{,}75^{x+2}-3~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    1. Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion f1f_1 an.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[9;4]x\in[-9;4] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 9x5;  4y8-9\le x\le 5;~~-4\le y\le 8

    2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=2k=-2 sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(21)\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=20,75x+4+7y=-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7 besitzt (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[9,4]x\in[-9{,}4] in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

    3. Punkte An(x0,75x+23)A_n(x|0{,}75^{x+2}-3) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Cn(x20,75x+4+7)C_n(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx und sind für x>6,61x>-6{,}61 zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Strecken [AnCn][A_nC_n] liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.

      Es gilt: AnBn=(32)\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

      Zeichnen Sie das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=5x=-5 und das Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=1x=1 in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

    4. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=(2,1250,75x+2+10)\overline{A_nC_n}(x)=(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10) LE.

    5. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3.

      Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B3B_3 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

    6. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt AA der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(6,3750,75x+2+30)A(x)=(-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30) FE.

      Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gilt: A<30A<30 FE.

  2. 2
    Bild

    Das gleichschenklige Trapez ABCDABCD hat die parallelen Seiten [AD][AD] und [BC][BC]. Der Mittelpunkt der Seite [AD][AD] ist der Punkt KK, der Mittelpunkt der Seite [BC][BC] ist der Punkt LL. Das Trapez ABCDABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH (siehe Skizze). Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA.

    Es gilt: AD=8 cm\overline{AD}=8~cm; BC=12 cm\overline{BC}=12~cm; KL=6 cm\overline{KL}=6~cm; AE=7 cm\overline{AE}=7~cm

    1. Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH, wobei [KL][KL] auf der Schrägbildachse und der Punkt KK links vom Punkt LL liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45q=\frac12;\quad\omega=45^\circ.

    2. Der Mittelpunkt der Kante [EH][EH] ist der Punkt MM, der Mittelpunkt der Kante [FG][FG] ist der Punkt NN. Für den Punkt SS auf [MN][MN] gilt: SN=2 cm\overline{SN}=2~cm.

      Punkte PnP_n auf [KS][KS] bilden zusammen mit den Punkten KK und LL die Dreiecke KLPnKLP_n. Die Winkel PnLKP_nLK haben das Maß φ\varphi mit φ]0;74,05].\varphi\in]0^\circ;74{,}05^\circ].

      Zeichnen Sie die Strecke [MN][MN], den Punkt SS sowie das Dreieck KLP1KLP_1 für φ=45\varphi=45^\circ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.

      Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel LKSLKS das Maß 60,2660{,}26^\circ hat.

    3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [LPn][LP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      Geben Sie die minimale Länge der Strecken [LPn][LP_n] an.

    4. Unter den Dreiecken KLPnKLP_n gibt es das gleichschenklige Dreieck KLP2KLP_2 mit der Basis [KP2][KP_2]. Berechnen Sie die Länge der Strecke [KP2][KP_2].

    5. Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit den Höhen [PnTn][P_nT_n] und TnT_n auf der Strecke [KL][KL]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 und ihre Höhe [P1T1][P_1T_1] in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

      Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=104,20sinφsin(φ+60,26)V(\varphi)=\dfrac{104{,}20\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)} cm³.

    6. Die Pyramide BCGFP3BCGFP_3 mit der rechteckigen Grundfläche BCGFBCGF und der Spitze P3P_3 hat dasselbe Volumen wie die Pyramide ABCDP3ABCDP_3.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi.


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